Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение векторного произведения двух векторов. В каком случае модуль векторного произведения двух векторов по- ложителен? Равеннулю?

2. Изменится ли направление и модуль векторного произведения двух векторов, если поменять местами перемножаемыевекторы?

3. Возможна ли ситуация, когда модули векторного и скалярно- го произведений одних и тех же векторов равны? Если ваш ответ ут- вердительный, приведитепример.

2. Дифференциальное исчислениефункции действительнойпеременной

Цель этого раздела — исследование поведения функцииy=y(x) в окрестности точки x.

1. Дифференцируемость функции.Дифференциал. Производнаяфункции

Функцияy=y(x)называетсядифференцируемойвточкеx,еслипри- ращение функцииΔyможно представить ввиде

Δy=АΔx+о(Δx), (2.1)

гдеАнезависитотΔx,ноприэтом зависитотx, ао(Δx)бес-конечно малая величина более высокого порядка,чемΔy,т.е.

_lim⎛^о(Δx)⎞_0.

Δx0^⎜_⎝

Δx^⎟_⎠

Главная, линейнаяпоΔx, часть приращения функции называется

дифференциалом функциив точкеxи обозначается

dy=АΔx. (2.2)

НайдемА, учитывая, чтоАне должно зависеть отΔx; приэтомпусть приращениеΔxстремится к нулю.

А =^Δy^o(Δx); (2.3)

Δx Δx

limAA; (2.4)

Δx0

А =lim^⎛Δy^o(Δx)⎞lim^Δy. (2.5)

Δx0^⎜_⎝Δx

Δx^⎟_⎠

Δx0_Δx

Производнойфункцииy=y(x)вточкеxназываетсяпределотноше-нияприращенияфункцииΔyкприращениюаргументаΔxпристрем-

лении последнего к нулюlim^Δy(при условии, что он существует).

Принято обозначать

Δx0_Δx

^yy^x^{limΔylimyxΔxyx. (2.6)}

Δx0_Δx Δx0 _Δx

Длядифференцируемости функциинеобходимо и достаточно суще-

^{ствование производнойy}^x^{. При этом}

dy=

y^dx. (2.7)

Поэтому процесс нахождения производной также называютдиф-ференцированием.

2. Геометрический смыслпроизводной

Как видно из рис. 2.1, тангенс угла наклона секущей АВ

_{tgBCΔ}y_y(xΔx)y(x)_{. (2.8)}

AC Δx

Δx

ПриΔx0секущаяАВстре-мится к положению касатель- нойАD; тогда tg=y(x), где

— угол наклона касательной к графику функции в точкеx.

^{Значениеy}^x₀^{позволяет}

записатьуравнение касательной

к кривойy=y(x) в точкеx₀:

y–y₀₌y^x_0(x–x₀), (2.9)

Рис. 2.1

а такжеуравнение нормали:

y–y₀

=– ¹

^y^x₀

• (x–x₀),при

^y^x₀^{0 (2.10)}

^Приy^x^{> 0 в точкеxфункция являетсявозрастающей, а при}

^y^x^{<0 —убывающей.}

3. Геометрический смыслдифференциала

Как было получено, приращение функции

Δy=dy+о(Δx). (2.11)

ПриΔx0,Δydy.

Таким образом, линейное приращение функции можно оцени- вать по дифференциалуdy.

Вернемся к рис. 2.1:Δy=ВС;о(Δx) =DВ;dy=DС.

Как видно,дифференциал функции графически изображается при-ращением ординаты касательной.

4. Физический смыслпроизводной

ПонятиепроизводнойвведеноГ.Лейбницем(Германия)и И.Нью- тоном(Великобритания)вконцеXVIIвекапрактическиодновремен- но. Лейбниц решал геометрическую задачу о проведении касатель- ной к плоской кривой. Ньютон же рассматривал движение точки и ввел понятие скорости в данный момент времени.Таккак значениепроизводнойотфункциивданнойточкехарактеризуетскоростьизме- нения функции в этой точке по сравнению со скоростью возраста- ния независимой переменной, можно использовать понятие произ- водной при определении скорости различныхпроцессов.

Замечания

1. Для независимой переменной x по определениюdx=Δx.

2. Наряду с обозначениемyиспользуют записьy=^dy.

dx

3. Вфизикедляпроизводнойповременипринятыследующие

обозначения:

x=x(t);x^.^dx.

dt

5. ТАБЛИЦАПРОИЗВОДНЫХ

И ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Для нахождения производных пользуются таблицей производных элементарных функций.

Таблица производных элементарных функций

Функция	Производная		Функция	Производная
С (посто- янная)	0	(1)	logax	1logae= 1 x xln0	(11)
X	1	(2)	lgx	1lge0, 4343 x x	(12)
xn	nxn–1	(3)	sinx	cosx	(13)
1 x	1 x2	(4)	cosx	–sinx	(14)

Продолжение табл.

Функция	Производная		Функция	Производная
1 xn	nxn1	(5)	tgx	1 cos2x	(15)
x	1 2x	(6)	ctgx	 1 sin2x	(16)
nx	1 nnxn1	(7)	arcsinx	1 1x2	(17)
ех	ех	(8)	arccosx	 1 1x2	(18)
ах	ахlnа	(9)	arctgx	1 1x2	(19)
lnx	1 x	(10)	arcctgx	 1 1x2	(20)

Существуютследующиеосновныеправиладифференцирова-ния(здесьС—постоянная,аuиv—функцииотx,имеющиепро- изводные):

(C)=0 (2.12)

(u+v)=u+v (2.13)

(Cu)=Cu (2.14)

(uv)=uv+uv (2.15)

⎛^u⎞^_⎛^{uvuv⎞}

^⎜_⎝v^⎟_⎠ ^⎜_{⎝ v}2^⎟_⎠

(2.16)

Приведем примеры нахожденияпроизводных.

Пример 1.Найти производную от функцииy5x³2x²3x4.

Основываясь на формуле (2.13), имеем

y^_5x³_^_2x²_^3x^4^_.

Далее, применяя формулы (2.12) и (2.14), получаем

y^5_x³_^2_x²_^3x^.

Наконец, пользуясь формулой (3) из таблицы, приходим к окон-чательному результату

y^53x²22x31, илиy^15x²4x3.

Пример 2.Дано:yx³cosx. Найти:y^.

По правилу дифференцирования произведения функций (2.15) получаем

^yx3^sinx^{3x2cosx, илиyx3sinx3x2cosx.}

Здесь применялись формулы (3) и (14) из таблицы.