3. Поступательное движение твердоготела

Поступательноедвижение—движение(рис.5.2),прикоторомлю-бая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается парал- лельной своему первоначальному положению. Поступательное дви- жениеможетбытьпрямолинейнымикриволинейным.Можнопоказать, чтоприпоступательномдвиженииодинаковымиявляютсявсехарак-теристикидвижениявсехточек.Следовательно,вэтомслучаекине- матика,динамикаистатикатвердоготеласводятсяккинематике,ди-намике и статике любой частицы (материальной точки) тела, кото- рые рассматривалисьранее.

Рис. 5.2

3. Вращение твердого тела вокруг неподвижнойоси. Момент инерции твердоготела. Теорема штейнера Дискретная система частиц

_W

^kk W_z=W

R_i

i

m

p

i

_{J O} r_i

Рис. 5.3

Рассмотримдискретноетвердое тело, котороеможетсовершать только однодвиже- ние—вращениевокругнепод-вижнойоси, и определим, как меняетсясовременемегоугол поворота вокруг этой оси. Со- вместим осьzдекартовой сис-темы координатсосьювра-щенияинаправимеевверх.Напомним, что выбор направ- ления осиz(вдоль оси враще-ния) задаетпоправилуправого

винтаположительноенап_�рав-

ление отсчета угла. В соответствии с определением векторауг- ловая скорость вращения (рис. 5.3)одинаковадля всех частиц тела ипараллельнаосиz, т. е.

_� ^� � � ^�

_� _zk0i0j_zk, (5.15)

гдеk—единичны_�йвектор,направленныйвдольосиz,апроекцияугловой скоростина осьzв общем случае равна

_� _z, (5.16)

где— модуль вектора. По формуле Эйлера для скорости любой точки вращающегося тела имеем

� ^��

v[,r], (5.17)

r

где^�— радиус-вектор точки. Выберем за начало системы координат

любуюточкуО,лежащуюнаосивращения.Всоответствиисопреде- лением векторного произведения получаем (смотри с.279)

� ^��

_⎡� � ^� � � ^�_⎤

� � ^�

v[,r]=_⎣0i0j_zk,xiyjzk_⎦

С другой стороны,

_zyi_zxj0k.

Следовательно,

_� � � ^�

vv_xiv_yjv_zk.

v_x_zy

v_y_zx

v_z0. (5.18)

Тогда момент импульса и момент импульса относительно оси z любой частицы тела массой m равны (4.3)

_�� � � ^� � � ^�

L= [r,p] = [xiyjzk, m(v_xiv_yjv_zk)] =

� � ^� � � ^�

� �

=m[xiyjzk, v_xiv_yjv_zk] =_�

mxz myz m(x²y²)k.

(5.19)

zⁱ z^j z

Таккак _{� � � �}

LL_xiL_yjL_zk,

то, сравнивая с (5.19), получаем

L_xmxz_z,

L_ymyz_z,

2 2 2

L_zm(xy)_zmR_z, (5.20)

гдеR

— расстояние от частицы до осиz, или радиусвра-

щения частицы вокруг осиz.Таккак расстояние от частицы до оси вращения (радиус вращения) не зависит от выбора начала системы координат(т.О), то от этого выбора не зависит величинаL_z. Доба- вим в выражение для момента импульса частицы относительно осиzиндексiвсем переменным за исключением_z, так как угловые ско- рости (и их проекции) одинаковы для всех частиц тела.Тогдадляiчастицыполучаем

ii z

L_izmR² (5.21)

Подставляя это выражение в формулу (4.20), рассчитаем проек- цию момента импульса системы частиц (твердого тела) при его вра- щении вокруг неподвижной оси

L_L_(mR²⁾_I, (5.22)

где

24. iz

i i

ii z z ii

i ii

ImR^2. (5.23)

— момент инерции i-ой частицы твердого тела относительно осиz. ВведеммоментинерциитвердоготелаIкакалгебраическуюсуммумо-ментов инерциисоставляющих его частиц,т.е.

I_Iii

_mR^2. (5.24)

i i

i

Размерность момента инерции [I] = [кг · м²]. Отметим, что при выборедругой осирасстояния от оси до частиц изменятся. Следова- тельно, изменится и момент инерции системы частиц. Подставляя (5.24) в (5.22), получаем проекцию момента импульса твердого тела на ось вращения в виде

L_zI_z. (5.25)

Проектируя на осьzвекторное уравнение (5.2) получаем

^dLzM.

dt ^z

Так как момент инерции твердого тела (абсолютно твердого тела)

Iне меняется со временем, то

^dLz^d(Iz)I^dzI, (5.26)

или

dt dt

dt ^z

I_zM_z, (5.27)

d d²

где ^{z z}— проекция вектора углового ускоренияна

^zdt dt²

осьz,— модуль вектора углового ускорения;_zd_z/dt— проекциявектораугловойскоростинаосьz,—модульвекторауг- ловогоскорости;_z—проекциявекторауглаповоротанаосьz,

— модуль вектора угла поворота. Из уравнения (5.27) следует, что

IM.

Уравнение (5.27) называетсяосновным уравнением вращательногодвиженияиливторымзакономНьютонадлявращательногодвижения. В отличие отпоступательногопривращательномдвижении твердо- го тела вокруг неподвижной осиодинаковыми являются только угло-вые характеристики движениявсех точек. Следовательно, кинема- тика вращательного движения тела совпадает с кинематикой враща- тельного движения точки.Поэтому

t

_z_{0zzdt}, (5.28)

0

t tt

_z_0z_zdt_0z_0zt_zdt. (5.29)

Если^�const(c0),то 00

_zonst

_z_0z_zt, (5.30)

t²

_z_0z

_0z

t^z. (5.31)

2