Задача 5.3

На наклонной плоскости, составляющей уголс горизонтом, в покое находится цилиндр высотойH, радиусом окружности основа- нияR.Определитьточкуприложениякцилиндрусилыреакцииопо- рыиусловиепокояцилиндравзависимостиотугланаклонаплоско- сти, если коэффициент трения о плоскость равенk.

Дано:R;_�H;k.Найти:N,.

Под нарушением покоя цилиндра на наклонной плоскости по- нимают два процесса: падение цилиндра на наклонную плоскость и

скольжениееговдольн_�аклоннойплоскости_�.

Пусть нормальнаяNи горизонтальнаяF_тр— составляющие силы

реакции опоры приложены в произвольной точке поверхности ци-

Цилиндр

а

^Fтр

_Z б в

линдра,соприкасающейсясопорой(наклоннойплоскостью)нарас-

стоянииxотточкиО.Запи_�шем_�усл_�овияравновесия(5.4)и(5.6).

NPF_тр0_{, (1)}

� � �

M_NM_PM_тр0_{. (2)}

Найдем условия, когда цилиндр не падает на наклонную плос- кость. Так как все силы, приложенные к цилиндру, действуют в од- ной плоскостиXOY, то векторное равенство (2) можно заменить на равенство проекций на осьz

M_Nz+M_Pz+M_трz=0. (3)

Определим моменты всех сил, например относительно точкиО. Этовозможно,таккакпредполагается,чтосуммасил,приложенный ктелу,равна нулю.Тогда

M_Pz=0, (4)

M_трz=0. (5)

так как линии действия этих сил проходят через точкуО(плечи сил равны нулю). Следовательно,

M_Nz+M_Pz+M_Nz=M_Nz=0. (6)

Таккак сила

�

Nвращает тело относительно точкиОпротив ча-

совой стрелки, то

M_NzNx.

Тогдаили

M_Nz=N·x=0 (7)

x=0. (8)

Следовательн_�о,еслителонаходитсявравновесии,тонормальнаясоставляющаяNсилы реакции опоры всегда приложена к точкеО—

точкепересечениялиниидействиясилытяжестисопорой(на_�клон-

ной плоскостью). Следовательно, точка приложения силыNдви-

жется к краю цилиндра при увеличении угла наклона. Это усло- вие определяет предельно возможное положение равновесия тела на

наклонной плоскости (рис. б). Если линия дейст_�вия силы тяжести

выйдет за край тела (а точка приложения силыNпо физическому

смыслу не может выйти за область соприкосновения тела с опорой), то тело обязательно перевернется, так как теперь проекции момен- тов всех сил относительно точкиОравны (рис. в)

M_Nz=0,M_трz=0,M_Pz=mgx (9)

и

M_Nz+M_Pz+M_трz=M_Pz0. (10)

Это означает, что цилиндр обязательно упадет вправо на наклон-

ную плоскость. Таким образом, максимально возможный угол на- клона плоскости к горизонту₀, когда тело еще находится в равно- весии (рис. б), равен

tg

R_2R

(11)

H

0₁

H

и 2

arctg^2R. (12)

0 _H

Найдемусловия,когдацилиндрнескользитпонаклоннойплос- кости.Из(1)следует,что

N_x+P_x+F_трx=0, (13)

N_y+P_y+F_трy=0. (14)

Определяя проекции всех сил (рис. г) на соответствующие оси ко- ординат, получаем

N_x=0,P_x=mgsin,F_трx=–F_тр, (15)

N_x=N,P_y=–mgcos,F_трy=0. (16)

5.3. Поступательное движениетвердоготела 287

Подставим (15) и (16) в (13) и (14). Тогда имеем

F_тр–F_тр=0, (17)

N–mgcos=0. (18)

Пусть сила трения покоя достигает своего максимального значе- ния при некотором угле наклона₁, т. е.F_тр=kN. Тогда выразимNиз

(18) и подставим вF_тр(17). Таким образом,

mgsin₁=F_тр=kN=kmgcos₁

или

tg₁₌k. (19)

Следовательно, равновесие цилиндра на наклонной плоскости на- рушается тогда, когда угол наклонной плоскости с горизонтом:

₀

arctg^2R(падение),

H

₁arctg(k)(скольжения).

Если^2Rk,то приувеличении угла наклонной плоскостиотнуля

H

цилиндрупадетнанее,еслиk

2R

^2R,тоонпоедетпонаклоннойплос-

H

кости. Еслиk

H

,то одновременно упадет и поедет.

Ответ: тело находится в равновесии на наклонной плоскости, если

min{arctg^2R, arctg(k)}.

H