Глава 5 элементы механики твердого тела

1. Динамика твердоготела

Для описания положения одной частицы в пространстве необхо- димо знать три ее координаты.Говорят,что материальная точка об- ладаеттремя степенями свободы. В общем случае для описания по- ложения системы, состоящей изN произвольныхчастиц,необходимо знать 3 ·Nкоординат. Можно показать, что твердое тело, представ- ляющеесобойсистемуNжесткосвязанныхмеждусобойчастиц,об- ладаетшестьюстепенямисвободы,т.е.длязаданияместоположения всехточектеланеобходимошестьнезависимыхкоординат.

Запишем уравнения, определяющие движение системы частиц

(4.34,4.23):

�

ma_C

�

_Fвнеш

(5.1)

�

�

^dL_M^внеш. (5.2)

dt

Часто удобнее вместо уравнения (4.23) использовать уравнение

(4.37)

�

dL_Ц

dt

�

внеш

^MЦ^{. (5.3)}

Как отмечалось ранее при рассмотрении одного твердого тела, индекс «внеш» можно не указывать, так как в этом случае все силы внешние. Если система частиц представляет собой систему твердых тел или твердых тел и частиц, то внутри такой системы можно опре- делить внутренние (внутрисистемные) силы и внешние, действую- щие на тела системы извне.

Проектируя уравнения (5.1, 5.2) или (5.1, 5.3) на оси координат, получаем шесть уравнений для нахожденияшести координаттела.

Знаязаконы действия внешних сил,точки их приложенияс помощью этих уравнений и начальных условий можно найти положение каж- дой точки тела и ее скорость в любой момент времени. Напомним, что переменные в уравнениях (5.1) и (5.2) рассчитываются относи- тельно произвольной неподвижной инерциальной системы отсчета, а в (5.3) — относительно системы отсчета, связанной с центром масс системы (Ц-система). Несмотря на внешнюю простоту этих уравне- ний, получение их решения для произвольного движения тела пред- ставляет собой достаточно сложную математическуюзадачу.Огра- ничимся рассмотрением условийравновесия твердых тели трех ви- дов движений (поступательного,вращательного вокруг неподвижнойосииплоского).

2. Условияравновесиятвердоготела

Из (5.1) и (5.2) следует, что твердое тело находится в равновесии, если:

1. векторнаясуммасил,п_�рилож_�енныхктелу,равнанулю

или

F_Fi

i

0 (5.4)

⎧_F

0,

⎪ ^ix

_⎪⎪i

_⎨Fiy0,

_⎪i

⎩i

^⎪_⎪Fiz0;

(5.5)

и 2)векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относи-

тельно неподвижнойточки,_�равнан_�улю

или

M_Mii

0 (5.6)

⎪

_M

⎧

ix

_⎪⎪i

0,

_⎨Miy0,

_⎪i

⎩i

^⎪_⎪Miz0.

(5.7)

Так как имеет место равенство (5.4), то, следуя (4.22), можно ут- верждать, что равенства (5.6–5.7) справедливы относительнолюбойнеподвижной точкипространства.

Рассмотрим частный случай. Пусть все силы, действующие на твердое тело, лежат в плоскостиХОY(рис. 5.1а),т.е. имеют нулевые проекции на осьZ.Тогдалюбой вектор силы и радиус-вектор точки

�

ее приложения можно представить в виде

_� � �

rxiyj0k; (5.8)

^� � � ^�

�� ^�

FF_xiF_yj0k.

гдеi,jиk— единичные векторы вдоль соответствующих осейX,Y

�

иZ.Подставим_�(5.8)в_{�(4.3)� � � � � �}

M=[,F]=[xiyj0k, F iF j0k]

^r x y

и,используя_{�свойства}векторногопроизведения, _�

_� �

[a,b] =(a ba b)(a b

�

• a b)(ab

• ab)k

yz z yⁱ

zx x z^j

xy yz

получим _{� � � �}

M(y00F_y)i(0F_xx0)j(xF_yyF_x)k

где

� � ^�

0i0jM_zk

�

M_zk,

(5.9)

M_zxF_yyF_x. (5.10)

Система уравнений (5.7) в данном случае сводится к одному урав- нению

_Mzi0. (5.11)

i _�

Пусть точкаОнеподвижна, а к точкеO'приложена силаF

(рис. 5.1а). Тогда:

если направление действияс_�илысоставляет с направлениемпря-мойОO'угол0, тосилаFвращает тело относительнот.Овле-

во, т. е. против часовой стрелке;

если направление силы_�составляет с направлением прямойОO'

угол0, то силаFвращает тело относительно т.О вправо,т. е. по часовой стрелки;

еслинаправлениесилысоставля_�етснаправл_�ениемпрямойОO'

r

r

нулевой угол или угол, т. е.^�Fили^�F, то никакого вра-

щения не происходит.

z

б ^в

Рис. 5.1

ВыберемосьZвдольосивращения,напримертак,_�какпока_�занонарис. 5.1. Рассмотрим проекцию на осьZмоментаMсилыF, обра-

зующей с прямойОO'угол(рис. 5.1б), т. е. вращающей телопро-

тивчасовойс_�трелки.Изсвойстввекторногопроизведенияследует,что моментMпараллелен осиZи составляет с ней угол 0. Следова-

тельно (4.14),

M_zMcos0M. (5.12)

�

Если силаFобразует с прямойОO'уг_�ол(рис. 5.1в), т. е. вра- щает телопочасовой стрелке, то моментMпараллелен осиZи, сле-

довательно, составляет с ней угол. Тогда

M_zMcosM. (5.13) Следовательно, уравнение (5.11) имеетвид

_MziM_1M_2.....M_n0, (5.14)

i

где знак (–) ставится, если сила вращает телопочасовой стрелке, а знак (+) — в противоположную сторону (противчасовой стрелки).

Отметим,чтоусловияравновесиятвердоготелаопределяютусло- вия неизменности движения, а не его отсутствия, так как из равен- стванулюсилиихмоментовследуетравенствонулюускорений.При этом центр масс тела может двигаться равномерно и прямолиней- но, а само тело — равномерно вращаться. Если телопокоится(ско-ростьтеларавнанулю),топривыполненииусловийравновесияоно не выйдет из состояния покоя (нулевая скорость не может изменить- ся со временем, так как ускорение равно нулю).Такимобразом,ус-ловияравновесия—этонеобходимые,нонедостаточныеусловияпо- коя. Для материальной точки, в отличие от твердого тела, средивсех инерциальных систем всегда можно всегда выбрать такуюсистему,в которой выполняютсяуравнения равновесияматериальной точки (5.4), и онапокоится.