3. Дополнение

Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести твер- дых тел без выреза и вырезанной части известны.

Задача4.8

ДанкруградиусаR=3мсвырезан- нымкругомрадиусаr=1м.Расстояние между центрами круговa= 1 м. Найти координаты центра тяжестифигуры.

_x Дано:R=3м;r=1м;a=1м.

Найти:x_C,y_C.

Представим несимметричную фигу-ру как сумму двух симметричных фи- гур:сплошногокругарадиусаRсплот- ностью единицы площадиисплош-

ного круга радиусаrс плотностью единицы площади —. Тогда в формулах (4) и (5) задачи 4.7 площадь круга радиусаrдолжна вхо- дить со знаком минус. В этом случае

1

2

SR²,Sr²,

(1)

SSS(R²r²).

1 2

ПустьС_1иС_2—центры(тяжести)сплошныхкруговсрадиусамиRиrсоответственно. Центр тяжести всей фигурыСлежит на прямойС₁С₂,таккакэталинияявляетсяосьюсимметриидлякругасвырезом,т.е.y_C=0.Найдемx_C.Поместимначалокоординатвцентрсплошно-

Основныеположения 267

го круга радиусомRи направим осьxвдоль прямойС₁С₂. Тогда абс- циссы центров тяжести большого и малого кругов

x_10, ₍₂₎

x₂a

и

_xS1x₁S₂x_2

ar²

 ^ar2

C _S

_11²

3²1²

(R²r²⁾ (R²r²⁾

¹−0,125м.

8

Ответ:x_C

(R

ar²

^2r²⁾

0,125м,y_C= 0 м.

4. Интегрирование

В общем случае, если твердое тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положение центров тяжести которых известно, то можно дискретную систему заменить на непрерывную и определить координаты центра тяжести системы по формулам (4.19), заменяя в них суммирование на интегрирование.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

L

�

• Момент

импульса^�

частицы

^� �� ^p

L[r,p],

где^�— радиус-вектор частицы.

^r � �

• _�r

  М_�омент_�MсилыFM[^�,F],

гдеr— радиус-вектор точки приложения силы.

• Ур_�авнениемоментов(длячастицы)



dL ^�

M,

dt _�

гдеM–сумма моментов сил, действующих на частицу.

• Законс_�охранения_�моментаимпульсачастицы:

еслиM0, тоL= const.

• МоментL_z

импульса^�частицыотносительно осиz

p

L_zLcos, _�

где—угол между_�векторомLи осьюz.

• МоментM_zсилыFчастицыотносительноосиz

M_zMcos, _�

где—угол между векторомMи осьюz.

• Уравнениемоментов(длячастицы)относительнооси

^dLzM,

dt ^z

гдеM_z–проекция суммы моментов сил на осьz.

• Законсохраненияпроекциимоментаимпульсачастицы:

еслиM_z0, тоL_z= const.

• Суммавнутреннихсилиихмоментовдлясистемычастицравна

нулю

�

_Fвнут_0,

�

_Mвнут_0.

�

• МоментLимпульсасистемычастиц



� �

L L_i,

_�i

гдеL_i—момент импульсаiчастицы.

• Уравнениемоментов(для системычастиц)

�

�

^dL_Mвнеш_,

dt

� �

гдеL–моментимпульсасистемычастиц,M^внеш–суммамомен- товвнешнихсил,действующихнасистемучастиц.

• Законс_�охранениям_�оментаимпульсасистемычастицы:

еслиM^внеш= 0, тоL= const.

• Уравнениемоментов(длясистемычастиц)относительнооси

^dLz_M^внеш_,

dt ^z

гдеL_z–проекция момента импульса системы частиц на осьz,

z

^Mвнеш–сумма проекций моментов внешних сил на осьz.

Обозначения, используемые вглаве4 269

• Законсохраненияпроекциимоментаимпульсасистемычастиц:

еслиM^внеш0, тоL= const.

z z

• Радиус-вектор центрамасс

� ¹ �

r_C_mmir_i, m_mi

i_� i

гдеm_iиr_i–масса и радиус-векторiчастицы.

• Скорость и ускорение центрамасс

�

d

�

C

rv_C_dt

�

и 

C

� ^dv

a

^Cdt

�

2_d

_ r_C

dt²

• Ц-система—системаотсчета,жесткосвязаннаясцентроммасси



перемещающаяся без вращения относительно инерциальной сис- темы отсчета.

Уравнение моментов для Ц-системы

�

�

dL_Ц

внеш

^dLЦz_Mвнеш

_dt ^M_Ц^,_dt Цz^.

• Центртяжести—точкаприложенияравнодействующейсилтяже- сти. Совпадает с центроммасс.

• Суммамоментовсилтяжестиотносительноцентрамассравна

нулю.

ОБОЗНАЧЕНИЯ,ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ГЛАВЕ 4

p_�

^� — вектор импульсачастицы

L_�— вектор момента импульса частицы

F_�— вектор силы

M— вектор момента силы

l — плечо импульса илисилы

�

v — векторскорости

�

a — векторускорения

m — массачастицы

t_� —время

g — вектор ускорения силытяжести

ТЕСТЫ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО ЭКЗАМЕНА

Момент импульса частицы. Момент силы

T4.1Если^�— импульс, а^�— радиус-вектор частицы, то момент

_� p r

Lимпульса частицы равен

₁₎��

2)[^�,^�] 3)[^�,^�] 4)m[^�,^�] 5)–[^�,^�]

rp _� pr rp

rp rp

T_�4.2Еслиp—импульс,аl—плечоимпульса,томодульмомен-

таLимпульса частицы равен

1)lp² 2)p 3)l²p 4)lp 5)l²p²

T4.3Если модуль импульса равен 10 м/c, а плечо импульса равно 5 м, то модуль момента импульса равен

1)500м³/c²²_�)10м/c 3)250м³/c 4)50м²/c 5)2500м⁴/c²

T4.4ЕслиF— сила, а^�— радиус-вектор точки приложения

_� r

сил_�ы,томомент_�Mсилыравен_{� � �}

1)F 2) ^�

3)^�

4)[

,^�] 5)[^�,F]

_�Fr rF Fr r _�

T4.5Если силы равен

F— сила, аl— плечо силы, то модуль моментаM

1)lF 2)l^2F 3)lF² 4)l²F² 5)F

T4.6Если модуль силы равен 10 Н, а плечо силы равно 2 м, то мо- дуль момента силы равен

1)20Н·м 2_�)40Н·м²³⁾200Н^2·м 4)400Н^2·м²⁵⁾10Н

_�T4.7 ЕслиM–момент силы, а–угол между осьюzи вектором

M, то проекция момента силы на осьzравна

1)M_zMsin 2)M_zLcos

3)M_zMtg 4)M_zMctg 5)M_zMcos

T4.8ЕслиF=10Н,l=2м,=60°,гдеF—_�сила,l_�—плечосилы,

— угол между осьюzи вектором моментаMсилыF, то проекция момента силы на осьzравна

1)30Н 2) 10Н·м 3) 20 Н^2·м 4) 40Н·м²5) 100Н·м