Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение Ц-системыотсчета.

2. Чему равны: радиус-вектор^�, скорость^�и ускорение^�цен-

r_C v_C a_C

тра масс механической системы в Ц-системе отсчета?

3. Дайте определение равнодействующей сил, приложенных к аб- солютно твердомутелу.

4. К какой точке абсолютно твердого тела приложена равнодей- ствующая силтяжести?

Задача 4.6

Кконцамгори-зонтального стержнядлинойL= 1 м имас-сойm=2кгподвеше-ныдвагрузамассами

Примеры решениязадач

m

₁g

^M2Ц

r₁

m₁= 1 кг иm₂= 3кг.

На каком расстоянииxот большей массы находится центр тя- жести системы?

Ц

^M

m

g

^g m_2g

Дано:L= 1 м;m= 2 кг;m₁= 1 кг;m₂= 3 кг. Найти:x.

Выберем произвольно (например, на стержне) точкуСи будем считать, что центр тяжести системы находится в этой точке.Тогда(4.41) сумма моментов сил тяжести всех частей системыотноситель- но точки С равна нулю,т.е.



� � � �

M_iЦM_1ЦM_ЦM_2Ц0. (1)

i1

Направлениевекторовопределяемпопоступательномудвижению правого винта, вращая его от радиус-вектора к вектору силы (4.3), а модули — из (4.5).Следовательно,

� � � � �

М_1ЦM_ЦиM_1Ц,M_ЦM_2Ц. (2)

Модули векторов (4.5) равны соответственно

M m grsin/ 2mg(^Lx)_,

1Ц 11 1₂

Ц

Mmgrsin/ 2mg(^Lx)_{, (3)}

2

M_2Цm₂gr₂sin/ 2m₂gx_.

� � �

Сумма трех векторовM_1Ц,M_ЦиM_2Ц, лежащих на одной прямой, равна нулю, только если

M_1ЦM_ЦM_{2Ц. (4)}

Подставляяв(4)значениямодулейвекторовиз(3),получаемурав- нение

mg(^Lx)mg(^Lx)=m gx. (5)

¹² 2 ²

Раскрывая скобки и перенося выражения, содержащие неизвест- ное в левую часть уравнения, определяемx

m g^Lm gxmg^Lmgx=m gx

или

1₂ 1 ₂ 2

^Lg (m+m) =(m

• mm)gx

_и 2

_x m₁m

1 2 1

^L^{12 1}^310,375м. (6)

m₂m₁m2 3122 8

Ответ:x

m₁m

^L0,375 м.

m₂m₁m2

6. Способы определениякоординатцентра тяжести твердоготела

1. Симметрия

Еслиоднородноетелоимеетплоскость,осьилицентрсимметрии, тоегоцентртяжестилежитсоответственновплоскости,наосииливцентресимметрии(рис.4.15).

^{Отрезокпрямой Прямоугольниксвырезом} Эллипс свырезом

Равностороннийтреугольник _{Цилиндр} ^Шар

Рис. 4.15

2. Разбиение

Если твердое тело можно разбить на конечное число таких час- тей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вы- числить по формулам (4.28). При этом число слагаемых в каждой из сумм будет равно числу частей, на которые разбито тело.

F

E4 K

Задача 4.7

C₃

y₃₃

M

2

^y_{22 C}

B ^D

A

^{–1 1} 2 ⁴

Данаоднородная_L плоскаяфигураABDE-FKLMN,состоящаяизтрехпрямоугольников.

Известны длины сторонвсех прямоугольников,

х азначит,икоординаты

x

x

x

–2 _O

¹ 2

6

³ их центровсимметрии.

4.8. Способы определения координат центра тяжеститвердоготела 265

Найти координаты центра тяжестифигуры.

Дано:ABDO,OEFN,FKLM–прямоугольники;АВ=1м;BD=2м;

ОE= 4 м;EF= 2 м;FK= 4 м;KL= 2 м.

Найти:x_C,y_C.

Определим координаты центров симметрии и площади прямо- угольников, образующих фигуруABDEFKLMN.

x₁= –1 м,y₁= 0,5 м,S₁= 2 м²,x₂= 1 м,y₂= 2 м,S₂= 8 м²,x₃= 4 м,y₃= 3 м,S₃= 8м²,

S=S₁+S₂+S₃= 2 + 8 + 8 = 18 м².

Получим формулы для определения координат центра тяжести произвольной фигуры, которую можно разбить на части, центры тя- жести которых известны. Умножим числитель и знаменатель в пра- вых частях выражения (4.28) наg

x¹_mgx, y¹_mgy, z

¹_{m gz}

. (1)

i

i

C_mg i i C_mg i i

C_mg i i

i

Так как фигура однородна, то введем плотность единицы площа- ди фигуры[кг/м²]. Тогда

m_iS_i, (2)

mS, (3)

гдеm_mi–всямассаиS_Si–всяплощадьфигуры.Подстав-

i i

ляя (2) и (3) в (1), получим

1 1

g

^Si^xi

24. i

     _{m gx} _Sgx

_Sxⁱ

(4)

i

i

^Cmg

^{i i}Sg

i i_Sg ii _S

1 1

g

^Si^yi

24.  _{m gy} _Sgy

_Syⁱ , (5)

i

i

^{Cmg i i}Sg

i i_Sg ii _S

i

где(x_i,y_i)—координатыцентратяжестиiчастифигуры.Подставляя в (4.45) и (4.46) условия примера, получим координаты центра тяже- сти фигурыABDEFKLMN:

_x^S₁^x₁^S₂^x₂^S₃^x_32(1)8184_3821_м,

^C S 18

18 9

_y^S₁^y₁^S₂^y₂^S₃^y_320, 58283_4125_м,

^C S 18

18 18

гдеS₁,S₂,S₃–площади первой, второй и третьей части фигуры,S=

=S₁+S₂+S₃.

Ответ:x

_^S₁^x₁^S₂^x₂^S₃^x_321_м;

^C S 9

_y^S₁^y₁^S₂^y₂^S₃^y_325_м.

^C S 18