6. Абсолютно твердое тело.Равнодействующая сил, приложенных к твердомутелу.

РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ СИЛ ТЯЖЕСТИ

Рассмотрим частный случай — систему частиц сабсолютно же-сткими связями. Модель такой системы —абсолютно твердое тело(рис. 4.11). Следствием абсолютной твердости (жесткости) связей являетсянеизменность расстояний между любыми двумя частицами иразмеров всего телапри произвольном воздействии на систему (т. е. отсутствиедеформаций,а значит и внутренних сил). Следовательно,абсолютно твердое тело — модель макроскопического тела, размера-ми которого в рамках данной задачи нельзя пренебречь, но можно пре- небречь изменениями этих размеров, т. е. деформациями.

Призаменедискретнойсистемычастицнанепрерывнуюнеизмен- нымостаетсярасстояниемеждулюбымидвумяточкамиабсолютно

твердоготела.Далеевместотерминаабсолютнотвердоетелоисполь-зуетсятерминтвердоетело.Еслисистемачастицпредставляетсобойоднотвердоетело,тоиндекс«внеш»ниусил,ниуихмоментовуказы-ваться небудет,так как для одного твердого тела все силывнешние.

Твердое тело

F

внеш

1

искретнаясистема

F

внеш

1

^f21

^f12 ^f1

a₁

$a=0

епрерывнаясистема

f₂

$a=a₂

• a₁

a₂

• деформация

Рис. 4.11

$a=0

_�Назовемравнодействующей сил, приложенныхктвердомутелу,силу

F^равн(рис. 4.12):

F₂

_Fравн

_Fравн

1 Mравн f

F ^M2

1

M₁

Рис. 4.12

равную сумме сил, действующих на твердое тело

^{FравнF,} (4.39)

� �

i

i1

�

�

момент которой относительно произвольной точки Оравенсумме мо-ментов всех сил относительно этой точки

равн^� равн

_�� �

M [r,F

^{][ri,Fi]Mi.} (4.40)

i1 i1

Здесь^�— радиус-векторiчастицы (точки) тела, к которой прило-

r_{i � �}

жена силаF_iотносительно точкиО,r–неизвестныйрадиус-вектор

точки приложения равнодействую-

щей силыотносительно точкиО.

Рис. 4.13

F₁=F

В общем случаесовокупностьсил,приложенныхктвердомутелу,можетне иметь равнодействующейсилы.Этозначит,чтонесуществуетодной силы, которой можно заме- нить действие всех приложенных сил. Простейшим примером явля-

ется действие на твердое телопары сил, т. е. одинаковых по модулю, но противоположных по направлению сил, приложенных к разным

частицам(точкам)тела.(ри_�с.4_�.13)._�Ихсумма

FF₁F₂0.

Результатом воздействия на тело пары сил является его враще- ние. Очевидно, что действие нулевой силы, т. е. отсутствие какого- либо воздействия на систему, не эквивалентно действию двух ука- занных выше сил.

Рис. 4.14

Отметим, что для сил, приложенных к од- нойчастице(4.8),равнодействующаясиласу-ществуетвсегда.

Рассчитаемравнодействующуюпараллель-ныхсил.Напримерсилтяжеститвердоготела, представляющего собой дискретную систему частиц с абсолютно жесткими связями. Най- деммодуль, направление и точкуприложенияравнодействующей(рис. 4.14). По определе- нию(4.39–4.40)

�

_Fравн

�

� �_{ }

F_i m_igmg_,

i1 i

�

�

равн^� равн ^{� �}

M [r,F ][r,mg]_{, (4.41)}

гдеm–массаiчастицы,m–масса системы частиц,^�— радиус-век-

_i r

торнеизвестной точки приложения равнодействующей силы. С дру-

�

�

гой стороны,

равн ^��

� � ��

M _Mi[r_i,F_i]_[r_i,m_ig][(_mir_i),g]_.

i1

i1

i1

i1

Радиус-вектор центра масс системы по определению (4.28) равен

� ¹ �

m

r_C_mir_i.

i _�

Умножим и поделим выражение дляM^равннаm. Тогда

�

равн

�� ¹

� � � �

M [(_miri),g][(_mmiri),mg][r_C,mg]_{. (4.42)}

i1 i1

Приравнивая (4.39) и (4.40), получаем

[^�,^�][^�,m^�].

rmg r_Cg

Решением этого уравнения является вектор

� � �

rr_Cconstg.

Если повернуть все силы тяжести относительно точек их прило- жения на один и тот же угол, то новая равнодействующая сила бу- дет направлена в другуюсторону.Можно показать, что все так полу- ченные равнодействующие силы тяжести имеют одну общую точку

r r_C

приложения^�^�, т. е.равнодействующая сил тяжести приложенак

центру масс системы.Точка,к которой приложена равнодействую- щая сил тяжести, называетсяцентром тяжести системы. Следова- тельно,центрмасс(инерции)ицентртяжестисовпадают(совпаде- ние — следствие приближения неизменности ускорения свободного падения в точках пространства, занятого системой частиц). Рассчи- таем сумму моментов сил тяжести, приложенных к системе,относи-

тельно ее центра масс с учетом того,что

�

^rСЦ

0 (4.35).

^{� �} � � ^� � ^� �

M_M _[r,mg]_[^miriЦ,mg][_^miriЦ,mg]



(4.41)

Ц iЦ

iЦ i _{m m}

i1

i1

� �i1 �

i1

[r_СЦ,mg][0,mg]0.

Такимобразом,суммамоментовсилтяжестиотносительноцен-тра масс твердого тела(т.е. в Ц-системе)равна нулю.Это равенст- восохраняетсяприлюбомповоротетвердоготелавокругточкицен-трамасс.Данноеутверждениесправедливоидлянепрерывныхтвер- дыхтел.