Задача 1.13 � �

Найти уголмежду векторамиa₁= {–2, 1, 2} иa₂= {–2, –2, 1}.

Дано:^�= {–2, 1, 2};^�= {–2, –2, 1}.

a_{1� �} a₂

Найти: (a₁,^a₂) =. Длины векторов

a₁

^|�|= ^22^{1222=3,}

a₂

^|�|= ^22^22^12=3.

Скалярное произведение

� �

a₁a₂= (–2)(–2) +1(–2) + 21 = 4.

1 2

1

2

Так как^�^�= |^�||^�|cos(^�,^^�),

a a a a

� �

a₁a₂

� �

тоcos(a,^a)=

a₁a₂

=⁴⁴, т. е.= arccos^⎛4⎞63°37.

1 2 3·3 9

⎜_⎝9⎟_⎠

Ответ: угол между векторами63°37.

10. Векторное произведение двухвекторов

Векторным произведениемвектора^�(множимое) на непараллель-

_� a _�

ный с ним векторb(множитель) называется третий векторc(про-

изведение), который определяется следующим образом:

1. c

   a

   модуль |^�| численно равен площади параллелограмма (АОВL на рис. 1.18), построенного на векторах^�иb,

� � �

|c^�|=|a||^�|sin( ,^ ); (1.20)

b a_1a2

2. c

   линия, вдоль которой направлен вектор^�, перпендикулярнаплоско-

сти упомянутого параллелограмма;

3. c

   направление вектора^{�выбира-}

�^� �

Рис. 1.18

ется так, чтобы векторыa,bиcсо-

ставляли правую систему, т. е. вектор

�

cнаправлен в такую сторону, из ко-

торой переход вращением от первого вектора — сомножителя^�ко

_� a

второму вектору-сомножителюbчерез наименьший угол виден про-

тив ходачасовойстрелки._{� �}

c

a

c

a

Обозначения:^�=�bили^�=^�,b.

11. Выражение векторногопроизведения через координатысомножителей

Если известны координаты двух векторов^�= {a,a,a} и^�= {b,

^a x y z^b x

b_y,b_z},то векторное произведение этих векторов

^�,^�=(ab–ab)^�+(ab–ab)^�+(ab–ab)^�. (1.21)

^ab yz zyⁱ zx x z^j

xy y x^k

12. Физический смысл векторногопроизведения

В физике многие величины определяются как векторное произ-

ведение других величин._�

1. Так,моменто_�мсилыFотносительно неподвижной точкиОна-

зывается векторM, равный векторному произведению радиус-век-

тора^�,проведенногоизточкиОвточкуприложениясилы,ивек-

r _�

тора силыF:

торы^�иFлежат вго-

Нарису_�нке1.19век-

r

ризонтальной плоско-

сти, ав_�ектормомента

� _��

M[r,F] (1.22)

силыMперпендику-

лярен плоскости пере-множаемых векторов и

направленвверх. _�

Рис. 1.19

2. Моментоми_�мпульсаpотносительнонеподвижнойточкиОна-

зывается векторL, равный векторному произведению радиус-векто-

ра^�,проведенногоизточкиОкматериальнойточке,обладающей

r

p

импульсом^�

^� ��

L[r,p] (1.23)

На рисунке показано, что тело движется по окружности против часо-

войстрелки.Таккакимпульс^{�= �},

_� p mv

v

^{гдеm—массатела,v—егоскорость,} он,какивектор^�,направленпока-

сательной к траектории. По правилу векторного произведения двух векто-

Рис. 1.20

ров^�и^�результирующий вектор

_� r p

Lлежит в плоскости, перпендикулярной плоскостипере_�множае-

p

мыхвекторов,инаправленнанас,таккаквекторыr,^�,Lсостав-

ляют правую систему.

3. �

   �

   Изучая электромагнетизм, вы познакомитесь с силойЛоренца

Fq[^�,B], действующей на зарядq, движущийся со скоростью^�в

_Л v _� v

магнитном полеB.

На рис. 1.21 положительно заряженная части-

ц_�асзарядомqдвижетсявправо.Магни_�тноеполе

Bнаправлено на нас. Сила ЛоренцаF_Ллежит в

плоскости,перпендикул_�ярнойплоскостиперемно-

v

жаемых векторов^�

иB,и направлена вниз.Мо-

Рис. 1.21

�

дуль силы ЛоренцаF_Л=qvBsin, где— угол между вектора-

ми^�иB.

^v � ^��

4. СилаАмпераF_A=I[l,B]действуетнапроводни_�кдлинойlсто-комI,помещенныйвполесмагнитнойиндукциейB.Модульсилы

АмпераF_A=IlBsin,гдеуголмеждун_�аправлениемтокаивек-

торомB.

На рис. 1.22 токIтечетс_�лева

Рис. 1.22

направо, магнитное поле_�Bна-

правлено вверх. ВекторF_Апер-

пенди_�куляр_�енплоскостирисунка(внейлежатперемножаемыевек-торыlиB) и направлен «на нас» из плоскости рисунка.