Движение человека

Приотсутствиисилтренияче-ловек(рис.4.9)немогбыдвигать- ся в горизонтальной плоскости, так как в этом случае сумма про- екций всех приложенных к чело- векувнешнихсил(тяжестиинор-

мальнойсоставляющейреакции _x

опоры) на любую горизонтальную ось равна нулю. Следовательно,

ma F^внешNP0.

Cx x x x

За счет внутренних сил чело-

Рис. 4.9

век, как и кошка, может только изменить положение частей своего тела(ног,рук), но не положение своего центра масс. При ходьбе или беге человек выносит одну ногу вперед, приподнимая ее над зем- лей,чтобыисключитьдействиенанеесилытрения.Другаяногадви- жется назад. Ей препятствут сила трения, приложенная к человеку и направленная вперед по его движению. Эта сила и есть та внешняя сила, которая позволяет центру масс человека перемещаться в нуж- номнаправлении.

Движение человека на лыжах, автомобиля по дороге, поезда по рельсам

Если человек движется на лыжах, то против движения ноги впе- ред действует сила трения, направленная назад, а против движения ноги назад — сила трения, направленная вперед. Из-за наличия спе- циальной мази сила трения, направленная назад, меньше по величи- не силы трения, направленной вперед. Векторная сумма сил трения является той результирующей внешней силой, которая перемещает центрмассчеловекавпереди,следовательно,позволяетемудвигать- ся на лыжах в нужном направлении. Наличие лыжных палок добав- ляет к силам трения, приложенным к лыжам, внешнюю силу сопро- тивления, приложенную к палкам и направленную по направлению движения лыжника. Движение автомобиля и поезда также связано с тем,чтосилытрения,приложенныекколесаминаправленныепо

движению, больше по величине сил трения, направленных против движения.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение радиус-вектора и его координат, скоростии ускорения центра масс механической системы в произвольной инер- циальной системеотсчета.

2. Дайте определение импульса системы частиц через скоростьее центрамасс.

3. Объясните, почему барон Мюнхгаузен не мог вытащитьсамсебя за волосы изболота.

4. Объясните динамику ходьбы и бега человека, движения авто- машины.

Примеры решения задач

Задача 4.5

Найти центр масс(т.С) сис-темы двухчастицсрадиус-векто-

рами^�и^�и массамиmиm

r₁r₂

_{� �} 1 2

Дано:m₁;m₂;r₁;r₂.

Найти: положениет.С. ^z

� � �

� � �

Пусть т.С— неизвестный центр масс системы двух частиц. По правилу сложения векторов получаем

r₁r₁r_C, r₂r₂r_C. (1)

r_C

Подставим в (1) выражение для^�(4.28)

� �

� � � � � �

r₁r₁

m₁r₁m₂r₂mm

_m1r₁m₂r₁-m₁r₁m₂r_2

mm

1_� 2_� 1 2

(2)

_m2r₁m₂r_2

^m2(^�^�)

r₁r₂

1 2

m_1m₂ mm

� �

� � � � � �

r₂r₂

m₁r₁m₂r₂mm

_m1r₂m₂r₂-m₁r₁m₂r_2

mm

1_� 2_� 1 2

(3)

1 2

_m1r₂m₁r_1

^m1(^�^�).

m₁m₂

mm^r2r1

4.6.Ц-система 257

Таккак

(^�^�)(^�^�),

r₁r₂

то

�

r₂r₁

�

r₁r₂.

Следовательно,этивекторалежатнаоднойпрямой.Пустьl

^�

2^r2

иl^�. Тогда

� � �

1^r1

^l1 

l₂

^m2. (4)

m₁

Ответ: центр масс системы двух частиц с массами m₁и m₂распо- ложен на прямой, соединяющей эти частицы, и делит ее на части в соотношении m₂к m₁, считая от частицы с массой m₁.

6. Ц-СИСТЕМА

Для упрощения расчетов удобно рассматри-

вать движение системычастицотносительно _{ее центра масс.}Систему отсчета,жесткосвя- ^{С v}Cзанную с центром масс и перемещающуюсяпо-

ступательно (т. е. без вращения)поотношению _y

C

rк инерциальным системамотсчета,называют _O^{системой центра масс иликраткоЦ-системой.} _z x

(рис. 4.10). Из выражения (4.34)

�

�

внеш

Рис. 4.10

следует:

ma_CF

если сумма внешних сил, приложенныхковсем частицам системы,

a_C

равна нулю, то^�0и центр масс системы будет двигатьсяравномер-

ноипрямолинейноилиоставатьсявпокоеотносительноинерциальнойсистемыотсчета,т.е.Ц-системабудетинерциальнойсистемой;

если сумма внешних сил, приложенных ко всем частицам систе-

a_C

мы,не равна нулю, то^�0и центр масс будет двигаться с ускоре-

нием относительно инерциальной системы отсчета,т.е. Ц-система будетнеинерциальной системой.Таккак система координат вЦ-сис- теме жестко связана с центром масс, то,очевидно,

� � �

r_СЦ0, v_СЦ0иa_СЦ0. (4.35)

� �

Следовательно, суммарный импульс системы частиц в Ц-систе-

ме(4.32)

^p_Ц^mv_СЦ^0. (4.36)

Уравнениямоментовсистемыиуравнениемоментовсистемыот-носительно оси(4.23, 4.26) в соответствии с принципом относитель- ностиГалилеяинвариантны относительно преобразованияГалилея,т.е. имеют одинаковый вид в любойинерциальнойсистеме отсчета. Рассматривая моменты импульса и сил системы частиц относитель- но движущегося начала (точки) и движущейся оси, можно показать, что уравнения моментов и их проекций на ось остаются инвариант- ными (неизменными) и при переходе из инерциальной системы от- счета в Ц-систему, которая может быть какинерциальной,так ине-инерциальной.Такимобразом, имеют месторавенства

�

�

M

dL_Ц

dt

внешЦ

, (4.37)

^dLЦz_Mвнеш

_dt Цz

� �

, (4.38)

внеш

Ц

гдеL_Ц,M –моментимпульсасистемычастицисуммамоментов

внешних сил, рассчитанных относительноцентра масс системы, ко- торый в общем случаене является неподвижным.