Вопросы и задания для самопроверки

1. Докажите, что сумма всех внутренних сил системы частиц рав- нанулю.

2. Докажите, что сумма моментов внутренних сил равнанулю.

3. Запишите уравнение моментов импульса системычастиц.

4. Запишите уравнение моментов импульса системы частиц от- носительнооси.

5. Сформулируйте закон сохранения момента импульсасисте-мычастиц.

6. Как меняется со временем момент импульса замкнутой систе- мычастиц?

7. Могут ли меняться со временем моменты импульса частиц, со- ставляющих замкнутуюсистему?

5. Центр масс системычастиц

Центроминерцииилицентроммасссисте- мы частиц называется точкаС,радиус-вектор

r_C

которой^�определяется формулой

� ¹ �

где

r_C_mir_i, (4.28)

m

i

m_mi�

(4.29) _z

• массасистемычасти^iц,аторiчастицы (рис.4.7).

r_i– радиус-век-

r_C

Декартовы координаты точки центра масс (или проекции радиус- вектора^�) в некоторой инерциальной системе отсчета имеют вид

x¹_{m x},y¹_my,z¹_mz. (4.30)

m

m

m

ii C ii ii

i i i

Если число частиц системы и их массане меняются со временем,

то скорость точки центра масс^�определяется как

_� v_C�

  (_

m

p

_v� ^dr_C ^d1 �_)¹_m^dr_i¹_



�_¹_�

^1�,(4.31)

i

i

i

^Cdt

m r

_dtm ii

m ⁱdt m ^{mivi i}m^p

p p_i

i

где^�_^�

• импульс системы частиц. Следовательно, можноза-

писатьⁱ

� �



p mv_C, (4.32)

т.е.импульспроизвольнойсистемычастицвлюбойинерциальнойсисте-ме отсчета равен произведению массы системы на вектор скоростиее центрамасс.Определимускорениецентрамасссистемыкак

�

�

a_C

dv_C

dt

. (4.33)

Продифференцируем импульс системы^�(4.32) по времени с уче-

� � ^p

C C

том определенийv(4.31) иa(4.33)

� ^{� �} ₂^�

^dp_^dmv_Cm^dv_Cm^dr_C �_.

dt dt

dt dt²

ma_C

При рассмотрении закона сохранения импульса показано, что

если^�–импульс системы частиц, то

� �

p _�

^dp_Fвнеш_Fвнеш_.

dt _i

Тогда получаемуравнение движения центра масс

_{2� �}

� ^dr_C

внеш

ma_Cm_dt2F

. (4.34)

Изэтогоуравнениявидно,чтоцентрмасспроизвольнойсистемыдвижетсятак,какдвигаласьбычастица,массакоторойравнасуммемассчастицсистемы,накоторуюдействуетсила,равнаясуммевнеш-нихсил,приложенныхкчастицамсистемы.Отметим,чтосовершен- но не важно, к каким частицам системы приложены внешние силы.Такимобразом, движение центра масс описывает движение произ- вольной системы частиц в целом. Рассмотрим несколько примеров движения центра масс различныхсистем.

Прыжок кошки

Если кошка прыгает горизонтально (рис. 4.8), то ее центр масс перемещается так же, как перемещается камень (материальная точ- ка) равной массы, брошенный горизонтально с той же высоты и с той же начальной скоростью. На кошку и камень в полете действу- ет одна и та же внешняя сила тяжести (трением о воздух пренебре-

гаем). Поэтому

� ^� �

ma_CF mg.

внеш

За счет внутренних сил кошка может только менять положение частей своего тела (кувыркаться), но не может изменить положение своего центра масс. Так же как и камень, центр масс кошки движет- ся в поле тяжести земли по параболе.

y

Рис. 4.8