12 21 12 12 � � � � FвнутFвнутFвнутFвнут0

�

внут

�

внут

^� внут

^� внут

^{� �} внут

^� внут

^M12

M₂₁

=[r₁,F₁₂

]+[r_2,F₂₁

]=[(r_2r_12),F₁₂

]–[r₂,F₁₂] =

_�� _� � _�� _� �

= [r,^внут]+[ ,^внут]–[,^внут]=[ ,^внут].

Таккак

2^F12

^r12

^F12

�

^r2^F12

�

^r12

^F12

_rFвнут_,

12 12

и векторное произведение двух параллельных векторов равно нулю, то

� �

12 21 MвнутMвнут0.

Такимобразом, обобщая полученные результаты насистему,со- стоящуюизпроизвольногочислачастиц,получаем(индексыiиjну- меруют частицысистемы):

_{FвнутFвнут0, (4.18)}

� �

ij

i1

_Mвнут_Mвнут_{0. (4.19)}

� �

ij

i1

Векторная сумма внутренних сил и моментов этих сил системы час-

тиц относител_�ьно произвольной точки О равна нулю.

МоментомLимпульса системы частицотносительно точкиОна-

зывается векторная сумма моментов импульсов всех частиц системы относительно этой точки

 

� � _��

L L_i [r_i,p_i], (4.20)

i i

�гдеL_iтицы.

• момент импульса,^�

p_i

r_i

�

• импульс и^�— радиус-векторiчас-

МоментомMсил, действующих на систему частицотноситель-

� �

�

�

но точки О, называется векторная сумма моментов сил, действую- щих на все частицы системы относительно этой точки. Так как сум- ма моментов внутренних сил равна нулю (4.19), то

внеш

внеш

^� внеш

MM _Mi[r_i,F_i

^], (4.21)

i

_� i _�i

M

где

внеш

i

• момент внешнейсилы

F^внеш, действующей наi-ю час-

тицу.

�

� �

Рассмотрим, как связаны друг с другом моменты импульса и сил системы, если их брать относительно точекO'иO, находящихся на расстоянииRдруг от друга. Для радиус-вектораiчастицы системы (рис.4.4) имеем

r_ir_i+ R,

�

�� �

гдеR— радиус- вектор точкиOотносительно точкиO'. Тогда

_[r,p]_[(

^�� �� ^��

 

), ] [, ] [, ]

i i

i _�i

r_iR p_i

� _�

r_ip_i

_�i _��i

R p_i

=L+[R,_pi]

i

L+ [R,p],

p p_i

где^�_^�

i

• импульс системы частиц. Подставляя данноеравен-

ство в(4.20),получим _{� � ��}

LL+ [R,p].

Аналогично имеем

� � � �

i

MM+ [R,_F^внеш]. (4.22)

i

Отметим,чтоесли _�

i

_Fвнеш_{= 0,}

i

то _{� �}

MM,

т. е. сумма моментов внешних сил, действующих на систему час- тиц, рассчитанных относительно любой неподвижной точкиО,оди-накова.

На примере простейшей системы частиц (рис.4.6) найдем ее урав- нение моментов. Для каждой частицы системы, исходя из уравне-

ний (4.10)

�

�

^dLM,

dt

�

относительнонеподвижно_�йточкиОимеем

dL_1d�tdL_2dt

M

внут

�

12

M

внут

21

�

• 1

  _Mвнеш,

�

• 2

  _Mвнеш.

Определим производную по времени момента импульса системы

частиц_�.Суче_�том_�(4.20)_�и(4.1_�9)получим

dL_d(L1L₂)_{dL1dL2}

�

внут_

�

внеш₊

�

внут_

�

внеш₌

dt dt

dt dt

^M12 ^M1

^M21^M2

� �

1 2

_=Mвнеш_Mвнеш_.

Обобщим этот результат на систему, состоящую из произвольно-

го числа частиц.

�



dL_

dt _i

�

i

_Mвнеш_

�

_M^внеш, (4.23)

т.е.производнаяповременимоментаимпульсасистемычастицыотно-сительнонеподвижнойточкиОравнавекторнойсуммемоментоввнеш- них сил, приложенных к частицам системы(сравните с выражением (4.10) для одной частицы). Уравнения (4.23) называютсяуравнениеммоментов системы частиц. Из (4.23) следуетзакон сохранениямомен-

таимпульсасистемычаст_�иц: _�

еслиM^внеш0, тоL=const, (4.24)

или _{� �}

L(t₁)L(t₂).

Есливекторнаясуммамоментоввнешнихсил,действующихначас-тицысистемыотносительнонеподвижнойточки,равнанулю,томо-ментимпульсасистемычастицостаетсяпостоянным(сравнитес (4.11)). Если система изолирована (замкнута),т.е. на частицы систе- мы не действуют внешние силы, то суммарный момент этих сил ра- веннулюи,следовательно,моментимпульсаизолированнойсистемычастиц остаетсяпостоянным.

Отметим,чтововсехслучаях,когдамоментимпульсасистемычас-тицпостоянен,моментыимпульсаотдельныхчастиц,составляющихсистему,могутменятьсясовременем.Проектируянаосьzвекторные уравнения (4.20,4.23)получим

L_z_Liz, (4.25)

i

^dLzM^внеш. (4.26)

dt ^z

z

ЗдесьL_z–моментимпульсасистемычастицотносительнонеподвиж- нойоси,аM^внеш–суммамоментоввнешнихсил,действующихнасис- тему частиц относительно неподвижной оси.Уравнение (4.26) назы-ваетсяуравнениеммоментовсистемычастицотносительнонеподвиж-нойоси.Из(4.26)следуетзаконсохраненияпроекциимоментаимпульсасистемычастиц(сравнитес(4.17)):

еслиM^внеш0, тоL=const, (4.27)

или

z z

L_z(t₁)L_z(t₂).

Еслиалгебраическаясуммамоментоввнешнихсил,действующих на все частицы системы относительно некоторой неподвижной оси равна нулю, то момент импульса системы частиц относительно этой оси остаетсяпостоянным.