Задача 4.4

Шарик, привязанный к концу нити длинойl₁1м, вращается без трения с частотой₁60рад/мин вокруг вертикальной оси, опира-

ясь на горизонтальную поверхность. Нить укарачивают до размеров

l₂0, 5м. Найти частоту₂вращения шарика.

Дано₁60рад/мин = 1 рад/c;l₁1м;l₂0, 5м. Найти:₂.

Так как при вращении

(и в процессе укорачива- ниянити) шарик взаимо-действует с тремя объек- тами (телами), то нанего состороны этихобъек-тов действуют трисилы.

По горизонталикцентру _�

вращениясосторонынитидействуетсиланатяжениянити_�T,повер-

g

тикали со стороны Земли к ее центру — сила тяжестиPm^�и со

стороныгоризонтально_�йповерхности—нормальнаясоставляющая

силы реакции опорыN, направленная вверх перпендикулярно по-

верхности. Так как в направлении осиzнет никакого ускоренного движения, то по 2 закону Ньютона

� �

NP0. (1)

Следовательно,

� � � � � �

F^равнNPT0TT_{. (2)}

Из(4.10)и(4.3_�)получаем,что

dL_^�

[^�,

� _�� �

^равн][ , ]

. (3)

M_i

^dt i1

r F r T M_T

_� �

ТаккакrT,то

Тогда

[^�,^�]^�0. (4)

r T M_T

�

L

^dL0или^�const. (5)

dt _{� �}

Вращаяправыйвинтотпервоговектораrковтором_�увекторуp

покрайчайшемупути,получимнаправлениевектораL,совпадаю-

щее с поступательным движениемправо_�говинта,т.е. вверх, какпо-казано на рис. Из постоянства вектораLследует,что

L₁L_2, (6)

гдеL₁— величина момента импульса шарика до укорочения нити, а

11. r

    и

    2

    p

    — после.Таккак угол междувекторами^{� �}равен/2, то,по

определению (4.2),

Lr psin/ 2mv rmr²ml^2, (7)

1 1 1 11 11 11

Lr psin/ 2mv rmr²ml²

2 22 22 22 22

и, следовательно,

ml²⁼ml^2. (9)

11 22

Сокращая наmи выражая₂, имеемравенство

_l2

^1. (10)

l

^{2 12}

2

Подставляя численные значения, получим

2 2

₂11 / 0, 54рад/с.

Ответ:₂4рад/с.

4. Момент импульса системычастиц. Закон сохранения момента импульса системы частиц относительно неподвижной (ых) точки и оси

Какотмечалось ранее, наличие системы частицозначает,чтосилы,действую_�щиенакаждуючастицусистемы,можноразделитьнавнут-

р_�енние

_Fвнут

(действующие между частицами системы) и внешние

F^внеш(действующие на частицы системы со стороны внешних тел).

внешнее тело

_Fвнут

21_v

^внеш

F₂

r₂О

l ^r1

внешнее тело

F

внешнее тело

2

⁸

^r12

v₁

0

внеш

1

^внут

^F12

Рис. 4.6

Рассмотрим на примере простейшей системы, состоящей из двух частиц, свойства внутренних сил и их моментов (рис. 4.6). Выберем

произвольную точкуОи построим радиус-векторы частиц^�и^�от-

r₁r₂

носительно этой точки. По правилу суммирования векторов имеем

 

� � �

^r1^r2^r12^.

По третьему закону Ньютона для внутренних сил

� �

12 21 FвнутFвнут,

и этисилы действуютпопрямой, соединяющей частицы системы (дляопределенности взяты силы отталкивания).Тогдасумма внутренних сил и сумма моментов внутренних сил, приложенных к частицам от- носительно произвольной точкиО, равны соответственно

� � � �