Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение момента импульса частицы и моментасилы относительно неподвижной точкиО.

2. Дайте определение плечасилы.

3. В каких случаях момент силы равеннулю?

4. Может ли меньшая сила создать больший моментсилы?

5. Почему канатоходцы держат в руках длинный тонкийшест?

6. Запишите уравнениемоментов.

7. Сформулируйтезаконсохранениямоментаимпульсачастицы.

8. Дайте определение момента импульса частицы и моментасилы относительнооси.

9. Зависит ли момент импульса частицы и момент силы относи- тельно оси от выбора точки на этойоси?

10. Запишите уравнение моментов относительнооси.

11. Сформулируйте закон сохранения момента импульса части- цы относительнооси.

Задача 4.1

НайтимоментимпульсаЛунымас-сойМ_Лотноситель-ноцентраЗемлимассойМ_Зиэлек- трона массойm_eв

Примеры решениязадач

Луна

Электрон

атоме водорода относительно протона, если они движутся по круго- вым орбитам радиусовRиrсоответственно. Выразить через момент импульсаLихкинетическую,потенциальнуюиполнуюэнергии.Ме-няются ли со временем моменты импульса Луны иэлектрона?

Дано:М_Л,М_З,m_e;R,r._�

Найти: ,Т,U,Е;L,Т,U,Е .

L_Л Л Л Л _e е е е

Движение Луны вокруг Земли

Запишем второй закон Ньютона для Луны, двигающейся по ок-р_�ужностирадиусаRвокругцентраЗемли.ТаккакединственнойсилойF,действующейнаЛуну,является силаеегравитационногопритяже-

ния к Земле (остальными пренебрегаем из-за их малости), то, следо- вательно, она является центростремительной силой, которая создает

_v2

центростремительное (нормальное) ускорениеa_n_Rи

M aG^MЗMЛ

, (1)

или

^Лп _R2

M^v2G^MЗMЛ

^Л_{R R}2

, (2)

гдеG— гравитационная постоянная. Сокращая левую и правую час- ти уравнения наМ_ЛиR, получаем

или

v²G^MЗ

R

, (3)

^v . (4)

По определению момент импульса Луны относительноцентраЗемлиравен _{� ��}

�

L[R,p].

Вращая правый винт отпервоговектора ко второму^�покрай-

R p

чайшемупут_�и,поегопоступате_�льномудвижениюопределяемна-

p

правлениеL(вверх).ТаккакR^�, томодуль моментаимпуль-са(4.2)

LRpsin^RM vRM M

. (5)

₂ Л Л Л

и, следовательно,

^vL. (6)

RM_Л

� � � ��

�

p

ТаккакFR,тоM[R,F]0относи_�тельноцентраЗемлиииз(4.11)следует,что момент импульса ЛуныLперпендикулярен плос- кости, в которой лежат векторыRи^�, и не меняется при еедвиже-

нии вокруг Земли. КинетическаяTи потенциальнаяUэнергии дви- жения Луны вокруг Земли равны

T ^Л

M v²

₂ , (7)

UG^MЛMЗ

R

. (8)

Подставляя (6) в (7) и (5) в (8), получаем

Л

,

.

T^MЛv2 ^L2 U ^L2 ETU ^L2

2 2M_ЛR²

M R^2,

2M_ЛR²

Движение электрона вокруг протона

Заменим в выражении (2) силу всемирного тяготения^GMЗ^MЛ

_R2

на силу Кулона гда получим

_e2

0

_4r2и массу ЛуныM_Лна массу электронаm_e. То-

_4r2, (9)



_v2 _e2

r

m_e

_и 0

_e2

v

4₀m_er

. (10)

АналогичномоментуимпульсаЛуныприеедвижениивокругЗем- ли момент импульса электрона (называемый орбитальным) при его движении вокруг протона перпендикулярен плоскости его движе- ния и не меняется со временем. Модуль момента импульса по опре- делению(4.2)

Lrpsin^

2

и, следовательно,

rm_evrm_e e

(11)

Тогда

v^Lm_er

. (12)

^mv2m⎛L⎞2 L²

e^{2 e2mr} L²

_{Te e }

,U  ^e ,

^{2 2⎜}⎝^mr⎟⎠ ^2mr2

4r 4r²m mr²

e e

_L2

ETU .

e

2m r²

0 0 e e

Ответ:

Движение Лунывокруг Земли

Движение электрона вокруг протона

LM_Л

M_Лv²

=const,

_L2

Le

m v²

= const,

_L2

Л

^T 2 ^2MR^2,

T^e  ,

e

2 2mr²

UG^MЛMЗ ^L2

U^e

^L2

R

ETU

M R^2,

Л

_L2

2

4₀r

e

E  

m r^2,

e

_L2

2M_ЛR²

^TU 2mr^2.