Абсолютно неупругий удар

3.57

Пуля массойm₁= 15 г при горизонтальном движении попадает в деревянный брусок массойm₂= 10 кг и застревает в нем. Найти на- чальную скорость пулиv₀, если брусок перемещается по гладкой по- верхности без трения заt₁= 2 с на расстояниеS₁= 90 см.

3.58

Двашарамассамиm₁₌0,3кгиm₂₌0_�,7кгдвижу_�тсявдольосиОх

навстречу друг другу со скоростями^�3iи^�2i.Найти импульс

_� v₁ v₂

pтела, образовавшегося после центрального абсолютно неупругого столкновения шаров. Проверьте выполнение закона сохранения им- пульса для полученного значения.

3.59

Тело массойm= 3 кг движется со скоростьюv= 4 м/с и ударяет- ся о неподвижное тело такой же массы. Найти количествоQтепла, выделившееся при ударе, если столкновение тел центральное и аб- солютно неупругое.

3.60

Железнодорожная платформа массойm₁= 13,4 т, двигаясь со ско- ростьюv₁= 12,8 м/с, сталкивается с платформой массойm₂= 22 т, движущейся со скоростьюv₂= 8,3 м/с в противоположном направ- лении. Двигаясь вместе, обе платформы сталкиваются с неподвиж- ной платформой массойm₃= 8,2 т и продолжают совместное движе- ние. Найти скоростиu₁иu₂платформ на разных участках пути после столкновений и направления их движения.

3.61 _{� �}

Теломассойm₁₌1г,движущеесясоскоростьюv_13i,испытыва-

етабсолютнонеупругоест_�олк_�новениесдругимтеломмассойm₂₌2г,

скорость которого^�2i3j. Найти импульс^�образовавшегося

v_{2 �} p

тела, модуль импульсаp=p и угол между направлением егодви-

жения и направлением движения первого тела.

3.62

Вагон массойm₁= 60 т подходит к неподвижной платформе со скоростьюv₁= 0,2 м/с и сталкивается с ней. После этого платформа начинает двигаться со скоростьюu₂= 0,4 м/с. Найти массуm₂плат-

формы, если после столкновения скорость вагона уменьшается до

m₂= 0,1 м/с.

Абсолютно упругий удар

3.63

Двашарамассамиm₁₌0,15кгиm₂₌0,35_�кгдвижутсявдо_�льоси

Ох навстречу друг другу со скоростями^�3i(м/с) и^�2i(м/с).

_{� �} v₁ v₂

Найти импульсы

p₁иp₂тел после их центрального абсолютно уп-

ругого столкновения. Проверьте выполнение закона сохранения им- пульса для полученных значений.

Глава 4момент импульса.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

P 4.1. Момент импульса частицы. Момент силы

�

МоментомL

импульса^�

частицыотносительно точки О назы-

�

вается векторное произведение радиус-вектора частицыrи ее им-

p

пульса^�(рис. 4.1)

^� ��

L[r,p]. (4.1)

�

МодульвектораL(величина момента импульса) равен

L=rpsin=lp, (4.2)

гдеl=rsin— плечо вектора^�относительно точкиО, т. е. длина пер-

�

p

пендикуляра, опущенного из точкиОна линию вектораp,— угол

r

p

между векторами^�и^�. Отметим, что углом между двумя вектора-

ми называется наименьший из двух углов, на который надо повер- нуть один вектор до совмещения с другим, т. е.0иsin0.

l

Рис. 4.1

Из выражения (4.2) следует, что модульLравен площади параллело-

грамма, построенного на векторах^�и^�как на сторонах.

_� r p

НаправлениевектораLзадается направлением поступательного

движения правого винта, если он вращается от первого вектора в век-

торном произведении^�ко второму вектору^�по кратчайшему пути.

r p

(Перед этим необходимо один из векторов перенести параллельноса-момусебетак,чтобысовм_{�естить}началавекторов).

Размерность_�вектора_�L— [L] = [кг· м²/c].

МоментомMсилыF, действующей на частицу относительно точ-

�

r

киО, называется векторное произведение радиус-вектора материаль- ной точки^�и вектора силыF(рис. 4.2)

� _��

M[r,F]. (4.3)

�

МодульвектораM(величина момента силы)равен

MrFsinlF, (4.4)

�

гдеl=rsin(0) — плечо вектораFотносительно точкиО,

т.е.длинапе_�рпендикуляра,опущенногоизточкиОналиниюдей-

ствиясилыF.Извыражения(4.4)следует,чтомодульМ_{�равен}пло-

r

щади параллелограмма, построенного на векторах^�иFкак на сто-

ронах. _�

НаправлениевектораMзадается направлением поступательного

движения правого винта, если он вращается от первого вектора^�ко

_� r

второму векторуFпо кратчайшему пути.

Рис. 4.2

1. Момент импульса частицы.Моментсилы 237

�

Размерность вектораM–

[M]=[Н·м].И_�зопределениямомента силыM(4.3)следует,чтомомент силыотносительнопроизвольной точкиОне ме- няется при перенесении точкиприложения силы вдольлинии

^{M (M`)} C

`

r

O

r

h

K

B^`

^B F^`

A^`

_A

F

ее действия (рис. 4.3).

Если место приложения

Рис. 4.3

силы перенести из точкиАвA, то параллелограммOABCперейдет

в параллелограммOABC. Оба параллелограмма имеют общее осно-

ваниеOCиобщуювысотуOK.Поэт_�омуи_�хплощадиравны.Изэтого

следует,что_�модулимоментовсилMиMодинаковы.Таккак_�век-

торы^�иFлежат в той же плоскости, что и векторы^�иF, то

r_{� �} r

векторMM. Следовательно,

� �

M= M.

�

МоментсилыотносительноточкиОравеннулю,еслимодульсилы

Fилиплечо силы lравны нулю. Плечо силы равно нулю, когдаF^�

F r

или^�^�

r

(т. е.линия действия силы проходит через точку О).

Моменты сил и моменты импульсов зависят не только от величи- ны и направления этих векторов, но и отположения точек, относи-

тельнокоторыхонир_�ас_�считы_�ваю_�тся.Рассмотрим,каксвязаныдруг

с другом моменты (L,LиM,M) одного и того же импульса^�и

_� p

силыFотносительно разных точекОиО', если точки находятся на

расстоянииRдруг от друга (рис. 4.4).

r

r

Радиус-векторы^�и^�одной и той же частицы, измеренные от-

носительно разных начальных точекОиО', связаны соотношением

� � ^�

rr+ R,

�

гдеR— радиус-век-

тор начальной точкиО'относительно на- чальной точкиО'.

Рис. 4.4

� ^�� �� ^��_{⎡ ⎤ ⎡ ⎤}

Так как

_⎣^ab,c_⎦^a,c^_⎣^b,c_⎦^,

� � � � �

то, подставляя эту связь в выражение (4.1) и (4.3), получим

r p

r

p

r p

p

p

L[^�,^�]=[(^�R),^�]=[^�,^�]+[R,^�]=L+[R,^�],(4.5)

� _��

_� � � _��

�� � ��

M[r,F]=[(rR),F]=[r,F]+[R,F]=M+[R,F].(4.6)

[R,^�]Rи [R,F]R.

_�Отмет_�им,ч_�то_�исход_�яизопределениявекторногопроизведения

p

Если на частицу действуют несколько сил, томомент векторнойсуммысил(моментравнодействующейсилы)равенвекторнойсуммемоментов всехсил.

^⎡_^⎤

_{⎡⎣paвн⎤⎦}

_⎡⎣ _⎤⎦

M_⎢r,

⎣

i1

F_i⎥

⎦

r,F

r, (F₁F₂...)

^⎡�,^{�⎤⎡�},^�⎤..._^�

, (4.7)

_⎣r F_1⎦

_⎣rF_2⎦

M_i

i1

так какравнодействующаясил, действующих на частицу, равна

F

^равн

_

F_i

i1

. (4.8)