Задача 1.6

Найти уголмежду силой

^� � � ^�

F(t)4i7tj2tk, Н, действующей

� ^�

на тело, и осьюOXв момент времениt= 1 с.

� �

Дано:F(t)4i7tj2tk, Н;t= 1 с.

Найти:.

Найдемдлинувект_�оракомпоненты вектораF:

�

F. Как и в предыдущей задаче, запишем

F_x= 4 H,F_y= 7t H,F_z= 2tH.

Используя формулу (1.11), получаем

cos

_ 4

^Fx  ⁴ 

 ⁴ .

В данную формулу подставим значение времениt= 1 с:

cos 

⁴0, 48,

_�=arccos0,4861,3°.

Ответ: между силойFи осьюOXугол61,3°.

7. Скалярное произведение двухвекторов

Скалярным произведениемдвух векторов^�и^�называется произ-

a b

� � �

ведение их модулей на косинус угла между ними.

a

a

a

Обозначения:^�b=^�b=(^�,b).

Согласно определению

_{�� �} � _� �

a b= |a||b|cos(a,^b). (1.14)

Скалярное произведение^�·^�обращается в нуль, если один из

a b _{� �}

сомножителей равен нулю или если векторыaиbперпендикуляр- ны (в этом случае косинус угла между векторами равен нулю).

8. Физический смысл скалярногопроизведения

Некоторые физические величины определяются как скалярное

произведение векторныхфизическихвеличин. _�

r

Так, элементарной работойdА, совершаемой силойFна элемен- тарном перемещенииd^�, называется скалярное произведение

F

r

F

r

dА= d^�=| ||d^�|cos, (1.15)

где— меньший угол между перемножаемыми векторами.

Рис. 1.15

ЕслисилаFиуголпостоянны,ателодвижетсяпрямолинейно, тоработасилынаперемещенииS

А=SFcos, (1.16)

гдеS— модуль перемещенияматериальнойточки. _�

v

МощностьPравна скалярному произведению вектора силыF, действующей на тело, и вектора скорости этого тела^�:

�

F

v

P= ^�=Fvcos. (1.17)

Рис. 1.16

�

Элементарн_�ымпотокомdФвекторамагнитнойиндукцииBчерезповерхностьdSназывается скалярное произведение

� �

dФ=BdS

�

где— угол между векторомB

=BdScos, (1.18)

n

и вектором нормали^�к данной по-

верхности (рис. 1.17).

Рис. 1.17

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. В каком случае скалярное произведение двух векторов положитель- но? Отрицательно? Равнонулю?

2. Пояснитефизическийсмыслскалярногопроизведения.

3. Изменится ли результат скалярного произведения двух векто- ров, если поменять местами перемножаемыевекторы?

Примеры решения задач

�

Задача 1.7

� �

_�Найтискалярноепроизведениеab,еслидлинывекторов|a|=2ми|b|=1м,ауголме_�ждуними=120°.

Дано: |^�|=2 м; |b|=1 м;=120°.

a_��

Найти:ab.

По определению скалярного произведения

�^� � ^� 1

ab= |a||b|cos= 21cos120° = 21() =1 м².

_�� 2

Ответ: скалярное произведениеab=1 м².

Задача 1.8

�

Определить работуАсилыF, модуль которой |F| = 5 Н.

�

Длинавектораперемещен_�ия|S|=4м.СилаFдействуетподуг-лом= 45° к перемещениюS.

Дано: |F| = 5 Н; |S| = 4 м;= 45°.

Найти:A_F.

По определению работаАсилыF

^{� �}

A=  = | || |cos= 45

= 10

14,1 Дж.

_FSF S F ₂

Ответ: работа силыA_F14,1 Дж.

Задача 1.9

Автомобиль массойm= 1000 кг перемещается прямолинейно под

действиемс_�илытягиF_�=5000Н.НайтиработуА,совер_�шаемуюси-

�

лами тягиF, тренияF_тр, нормальной реакции опорыNи тяжести

mgна перемещенииS= 1 км. Коэффициент трения= 0,1. Уско-

рение свободного паденияg= 10 м/с².

Дано:m= 1000 кг;F= 5000 Н;S= 1 км = 1000 м;= 0,1;

g= 10 м/с²_.

F

тр

Найти:A_F,A,A_N,A_mg.

Работа силы тяги:

A_F=FScos= 500010_�00cos0° = 500010001= 510⁶Дж (между векторами силы тягиFи перемещения угол= 0°).

Работа силы трения:

тр

A_F=F_трScos=mgScos=0,11000101000cos180°_�=

=0,11000101000(–1)=–10⁶Дж(междувекторамисилы тренияF_тр

и перемещения угол= 180°).

Работа силы тяжести:

A_mg=mgScos= 1000101000cos90° 0 = 0 Дж (между век-

mg

торамисилытяжести ^�и перемещения угол=90°).

Работа силы реакции опоры:

A_N=NScos=mgScos= 1000101000cos90° =

=100010_�1000cos90°=0Дж(междувектораминормальнойре-

акцииопорыNиперемещенияугол=90°_�). _�

Ответ:работа,сове_�ршаемаясиламитягиF,тренияF_тр,нормаль-

ной реакции опорыNитяжести ^�,A= 510⁶Дж,A=10^6Дж,

mg _F

A_N= 0 Дж,A_mg= 0 Дж соответственно.

Задача 1.10

^Fтр

Человектянетсани,прикладываясилуF=10Нподуглом=30°кгоризонту.Поддействием этой силы сани перемещаются горизонталь-но со скоростьюv= 5м/с.Найти мощностьP, развиваемуюсилой.

Дано:F= 10 Н;= 30°;v= 5 м/с.

Найти:Р. _��

Мощность P=Fv= Fvcos

=105cos30°=105 = 42Вт.

² �

Ответ: развиваемая силойF

мощностьP= 42 Вт.

Задача 1.11

Рамка площадьюS= 1 м²рас- положенаводнородноммагнитном поле с индукциейВ= 10^–3Тлтак,

что между векторами нормали^�и

_� n

индукцииBугол_�=60°.ОпределитьпотокФвектораBчерезрамку.

Дано:S= 1 м²;= 60°;В= 10^–3Тл.

Найти:Ф.

По определению магнитного потока

Ф=ВScos=10^–31cos60°=0,510^{–3Вб. Ответ:}магнитныйпотокФ=0,510^–3Вб.

9. ВЫРАЖЕНИЕ СКАЛЯРНОГОПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫСОМНОЖИТЕЛЕЙ

a₁

Если известны координаты двух векторов^�

�

= {a

_x1,a

_y1,a

_z1} и

a₂= {a_x2,a_y2,a_z2}, то скалярное произведение этих векторов

� �

a₁a₂=a_x1a_x2+a_y1a_y2+a_z1a_z2. (1.19)

Примеры решения задач

Задача 1.12 _{� �}

Найти длины векторовa₁= {3, 2, 1} иa₂= {2, –3, 0} и их скаляр- ное произведение.

Дано:^�= {3, 2, 1};^�= {2, –3, 0}.

^a1� � �^a2�

Найти:|a₁|, |a₂|,a₁a₂. Искомые длины

|^�|= ^�2= = ,

a₁ a₁

|^�|= ^�2= = ,

a₂ a₂

� �

a₁a₂= 32 +2(–3) + 10 = 0.

Значит, векторы^�и^�перпендикулярны.

� ^a1�^a2 � �

Ответ:|a_1|= , |a₂|= , скалярное произведениеa₁a₂=0.