Задача 3.20

m₁m₂

m₁m₂

Найти скоростьu₁шара массойm₁после центрального и абсолют- но упругого удара о неподвижный второй шар, если до удара ско- рость первого шараv₁и масса второго шара значительно превыша- ет массу первого,т.е.m₂»m₁. Исследуйте характер движенияша-ров послеудара.

Дано:m₁;v₁;m₂»m₁.Найти:u₁.

Полагаяv₂= 0 в формулах (3.69), (3.70), представим результат в виде

^m11

u^m2 v

^⎛m1^⎞v;u



₂m₁m₂

v2^m1v.

1

^m1_1

m

m₂

1₁

⎟

⎜

⎝^m₂⎠

^m1_{1 2}

m₂

Отсюдаследует,чтопервоетелоотскакиваетотзначительноболь- шего по массе шара, слегка меняя скорость по модулю. Второе же после удара движется в направлении первого до удара с очень ма- лой скоростью. В пределеm₂первое тело меняет направление на противоположное без изменения модуля, а второе остается не- подвижным.

u₁= –v₁;u₂= 0.

Такойжерезультатполучается при упругом столкновении шара со стеной при его нормальном падении на стену (рис.).

⎟

⎜

Ответ:u^⎛m1^⎞v;u

2^m1v.

1

Задача 3.21

¹¹ 1 1

m

⎝^m_{2⎠ 2}

Найти скоростиu₁иu₂двух шаров с одинаковыми массами после центральногоиабсолютноупругогоудара,еслидоудараихскоростиv₁иv₂. Исследуйте характер движения шаров послеудара.

Дано:m₁=m₂;v₁;v₂= 0. Найти:u₁,u₂.

В этом случая система (3.65), (3.66) имеет наиболее простой вид и приводится к следующим двумуравнениям:

⎧^u₁^u₂^v₁^v₂^;

^⎨uuvv.

⎩1 2 1 2

Нетрудно видеть, что решением системы являются следующие значения скоростей:

u₁=v₂;u₂=v₁,

т. е. после удара шары обмениваются скоростями. Полагаяm₁=m₂в формулах (3.69), (3.70), получим такой же результат.

При движениинавстречу,обменявшись скоростями после столк- новения, шары отскакивают друг от друга и двигаются в направле- нии, противоположном первоначальному (рис. 1). Если же один шар догоняет другой, то после удара они продолжают движение в томже направлении, но догоняющий шар становится отстающим (рис.2).

Рис.1 Рис.2

Ответ:u₁=v₂;u₂=v₁

Задача 3.22

Резиновая пуля массойm₁= 10г,летящая горизонтально, абсо- лютно упруго соударяется с шаром массойm₂= 0,2кг,подвешен- ном на нити длинойL= 1 м, и отскакивает в противоположном на- правлении.Врезультатеударашаротклоняетсяотвертикалинаугол

= 30°. Найти скоростьv₀пули до удара и скорости пулиv₁и шара

v₂сразу после удара.

Дано:m=10г;М=0,2кг;L=1м;=30°. Найти:v₀,v₁,v₂.

Систему уравнений для решения задачи упругого столкновения тел представим в следующем виде:

 

� � �

mv₀mv₁Mv₂

— законсохраненияимпульса; (1)

mv²mv²Mv²

0_ 0_ 2

2 2 2

Mv²

²Mgh

— закон сохранения кинетической

энергиител; (2)

— закон сохранения энергиидляшара; (3)

_h²_{LLcos} —высотаподъемашаранадравновесным

состоянием. (4)

После простых преобразований перепишем систему (1–4) в бо- лее удобной форме:

mv₀mv₁Mv₂^{; (5)}

m(v²v²)Mv^{2; (6)}

0 1 2

2

v²2gh.

Подставиввпоследнююформулувыражениедлявысоты(4)подъ- ема шара над равновесным состоянием, найдем его скорость сразу после ударапули

v₂

Систему уравнений (5,6)

⎧_⎪^m(v₀^v₁^)Mv₂^;

^⎨m(v^2v²⁾Mv^2;

. (7)

⎩^⎪ 0 1 2

после деления их правых и левых частей, запишем в виде

vv^Mv; (8)

0 1_m2

v₀v₁v_2. (9)

Складывая последние два уравнения,имеем

2vv

⎛^M_1⎞

v^1⎛M1^⎞v. (10)

0 2⎜_⎝m ⎟_⎠

⁰2^⎜⎝m

_⎠⎟2

Теперь, вычитая из уравнения (8) соответствующие части уравне- ния (9), получим

2vv

⎛^M_1⎞

v^1⎛M1^⎞v

. (11)

1 2⎜_⎝m ⎟_⎠

1₂⎜_⎝m

_⎠⎟2

Окончательный результат получим после подстановки (7) в фор- мулы (10) и (11)

v^⎛M1^{⎞ gL}(1cos);

0⎜_⎝m ⎟_{⎠ 2}

v^⎛M1^{⎞ gL}(1cos).

1⎜_⎝m ⎟_{⎠ 2}

Численныезначенияскоростейпредставленывответе.Самостоя- тельно проверьте для них выполнение законов сохранения импульса и энергии. Сравните решение и результаты этой задачи с соответст- вующими данными задачи3.17.

Ответ:v^⎛M1^⎞

= 17,01 м/с;

0⎜_⎝m ⎟_⎠

v^⎛M1^⎞

= 15,39 м/с;

1⎜_⎝m ⎟_⎠

v₂

1,62 м/с.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

• Элементарнаяработасилы–скалярноепроизведениесилынапе- ремещение

� �

dA(F,dS),

мера действия силы на материальное тело.

• Работапостояннойсилы–

A_FFScos,

� �

A_F(F,S)F_xS_xF_yS_yF_zS_z.

• Работапеременнойсилы—криволинейныйинтегралсилыпотра- ектории движениятела

� �

A_(F,dS).

S

• Мгновеннаямо_�щн_�ость–

F v

P(t)^dA^(F,dS)(^�,^�).

dt dt

• Средняямощность–

P(Δt)

_ΔA_.

Δt

• Энергия–способностьтеласовершатьработу.

• Потенциальная энергияупругодеформированной пружины

_x2

U(x)k ,

2

гдеk—коэффициентжесткостипружины;x–величинаеерастяжения(сжатия).

• Равновесное состояние системы–устойчивомусостояниюрав-

новесия соответствует минимум, а неустойчивому — макси- мум потенциальной энергии; любая замкнутая система стре- мится перейти в такое состояние, в котором ее потенциаль- ная энергия минимальна.

• Полнаямеханическаяэнергиясистемы—суммаеекинетиче-

ской и потенциальной энергий

KU.

• Законсохраненияполноймеханическойэнергиисистемы–визолированной системе полная механическая энергия не из- меняется современем

KUconst.

Кинетическая энергия может переходить в потенциальную и обратно только в равных количествах. Закон сохранения ме- ханической энергии представляет собой следствие законов движения.