Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение абсолютно неупругого удара. Может ли не- упругоетелосталкиватьсясупругимабсолютноупругоилиабсолют- нонеупруго?

2. В чем сходство и отличие абсолютно упругого и абсолютноне-упругогоударов?

3. Прирассмотренииабсолютноупругогоударазаконсохранения энергиииспользуетсяв общефизическом или механическомсмысле?

4. Решите систему уравнений (3.65) и (3.66) любым способом, от- личным от приведенного втексте.

5. В формулы (3.69) и (3.70) входят модули скоростей взаимодей- ствующих тел или ихпроекции?

Примеры решения задач

Задача 3.18

Найтискоростиu_1иu_2двухшаровмассамиm_1иm_2послецентраль- ного и абсолютно упругого удара, если их скорости до удараv₁,v₂, и суммаимпульсовшаровдоудараравнанулю,т.е.m₁v₁₊m₂v₂₌0.Ис- следуйте характер движения шаров послеудара.

Дано:m₁;m₂;v₁;v₂;m₁v₁+m₂v₂= 0. Найти:u₁,u₂.

При решении задачи проведите последовательные математиче- ские преобразования для центрального и абсолютно упругого удара двух шаров и выведете следующую систему уравнений:

m₁v₁+m₂v₂₌0; (1)

u_1–u₂₌–v₁₊v₂, (2)

которая легко получается из уравнений (3.67) и (3.68), полагая впер- вом из нихm₁v₁+m₂v₂= 0. Решите систему самостоятельно и сравни- те полученные результаты с приведенныминиже.

Для решения задачи можно непосредственно воспользоваться со- отношениями (3.69), (3.70) и представить их в виде

1

_u(m₁v₁m₂v₂)m₂v₁m₂v_2m₂v₁m₂v_{2. (3)}

m_1m₂ m₁m₂

Учитывая, что по условию задачиm₂v₂= –m₁v₁, равенство (3) при- нимает вид

1

1 1

_u(m₁m₂)_v

v. (4)

m₁m₂

Аналогично получим скорость второго тела

u₂₌–v₂. (5)

Согласно последним соотноше-

до удара

v₁ v₂

^m₁ m₂

ниям сталкивающиеся шары сим-пульсомдоудараравнымнулю,т.е.m₁v₁+m₂v₂= 0,после центральногоиабсолютноупругогоударашары

–v₁

m₁

послеудара

–v₂

меняют направление движения на противоположное без изменения модулей скорости (см. рис.).

Ответ:u₁= –v₁;u₂= –v₂.

Задача 3.19

Найти скоростиu₁иu₂двух шаров массамиm₁иm₂после цен- трального и абсолютно упругого удара, если до удара скорость пер- вогошараv₁,авторойшарпокоитсяv₂₌0.Исследуйтехарактердви- жения шаров послеудара.

Дано:m₁;m₂;v₁;v₂= 0. Найти:u₁,u₂.

Для решения задачи воспользуемся соотношениями (3.69), (3.70).

Полагая в нихv₂= 0, имеем

1

1

2

u^m1m2v; u

2m_1v.

1

m_1m₂ m₁m₂

Движение шаров после столкновения зависит от соотношения ме- жду их массами. Действительно:

а) еслиm₁>m₂, то

u₁> 0,u₂> 0,

т. е. направления движения обоих тел после столкновения совпадают с направлением движения первого тела до столкновения. При этом

скорость первого тела уменьшается, а скоростьвторогопревосходитегоско- рость до удара (см. рис.1);

б) еслиm₁=m₂, то

u₁= 0,u₂=v₁.

Последние соотношенияозначают,чтопосле столкновения первоетелоостанавливается, а второе движетсясоскоростьюпервогоивегонаправлениидоудара. Иначе говоря,пристолкнове-ниишаров происходит обмен ско-ростями между ними (рис.2);

до удара

после удара

v₁

Рис. 1

< u₂

в) еслиm₁

<m₂,то

до удара

u₁< 0,u₂> 0.

Изэтихнеравенствследует, что первое телопослестолкнове-ния изменяет направлениедвиже-ниянапротивополож-

послеудара

Рис. 2

ное и движется с мень- шейскоростью,чемдоудара. Скорость второго шараприэтомсовпадает по направлению со ско- ростьюпервогодоудара,

до удара

u₁

после удара

m₁

Рис. 3

1

но меньше ее по модулю (рис. 3).

1

2

Ответ:u^m1m2v;u

2m_1v.

1