Задача 3.17

1 2

2(m₁m₂)

Резиноваяпулямассойm₁₌10г,летящаягоризонтально,абсолют- нонеупругосоударяетсясшароммассойm₂₌0,2кг,подвешенномна нити длинойL= 1 м. В результате удара образовавшееся тело откло- няется от вертикали на угол= 30°. Найти скоростьv₀пули доуда-

ра, скоростьvобразовавшего- ся тела (пуля + шар) после уда- ра и количествоQвыделившего- ся тепла.

Дано:m= 10 г;М= 0,2 кг;L= 1 м;= 30°.

Найти:v₀,v,Q.

Систему уравнений для решения задачи неупругого столкнове- ния тел представим в виде

� �

mv₀(Mm)v

 

(mM)v²

(mM)gh

— законсохраненияимпульса; (1)

— законсохраненияэнергии; (2)

2

_{hLLcos} — высота подъема пули +шара

надравновеснымсостоянием; (3)

mv²

Q ^0

(mM)v²

— количество образовавшегося

2 2

v₀

Посколькуударцентральный,искорости^�

приударетепла. (4)

v

и^�направлены вдоль

одной прямой,тоуравнение(1)можно переписатьвскалярной форме

mv(mM)v^v

^⎛M1^⎞v. (5)

₀ 0⎜_⎝m ⎟_⎠

Из уравнения (2), с учетом (3), получим

v 

. (6)

Подставляя (6) в (5), найдем выражение для скорости пули до столкновения

v^⎛M1^⎞

. (7)

0⎜_⎝m ⎟_⎠

Используя формулы (6) или (7), найдем выражение для количе- ства тепла

_Q mM

v²^M(Mm)gL(1cos), (8)

2(mM)⁰m

образовавшегося при столкновении тел.

После подстановки в формулы (6–8) численных значений пара- метров, определенных условиями задачи, получим

v= 1,62 /с;v₀= 34,02 м/с;Q= 5,5 Дж.

Примечание.Теперьрассчитаемкинетическиеэнергиипулидо столкновенияитела(пуля+шар)вмоментстолкновения

 

mv²

K ⁰5,8 Дж;K

1 ₂ 2

_(mM)v²

2

0,3 Дж;

и из отношений

1

2

^K2^{0, 3}100 %5,17%; ^Q^5,5100%94,83%,

K_15,8 K_15,8

установим,чтобольшаячасть(>94%)первоначальнойкинетическойэнергии пули при столкновении тел тратится на образованиетепла.

Ответ:v 

= 1,62 м/с;

v^⎛M1^⎞

= 34,02 м/с;

0⎜_⎝m ⎟_⎠

Q^M(Mm)gL(1cos)

m

= 5,5 Дж.

Абсолютно упругий удар

Абсолютноупругийудар—кратковременноевзаимодействиетел, после которого в обоих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. После такого соуда- рения тела полностью восстанавливают своюформу.Реальные тела не обладают такими идеально упругими свойствами, но в некоторых из них возникающие после удара деформации настолько малы, что с высокой степенью точности ими можно пренебречь.Таковы,напри- мер, хорошие сорта стали и стекол, слоновая кость ит.д.

Еслиударможносчитатьабсолютноупругим,тодляскоростейдо удараипослеударадолжныбытьсправедливыуравнения,выражаю- щие законы сохранения импульса иэнергии

1^v1 2^v2 1^u1 2^u2

m^�m^�m^�m^�; (3.65)

m v²m v²m u²m u²

11_22_11_22_{, (3.66)}

2 2 2 2

гдеm,m— массы сталкивающихся шаров;^�,^�— их скорости до

1_�2_�

v₁v₂

удара;u₁иu₂— их скорости после удара.

Для простоты анализа остановимся на случае центрального уда- ра. Тогда уравнение (3.65) можно рассматривать как скалярное (все скорости до и после удара направлены по линии центров, и их раз- ные направления различаются только знаками) и переписать систе- му уравнений в таком виде:

⎧_⎪^m₁^(v₁^u₁^)m₂^(u₂^v₂^);

^⎨m(v²u²)m(u²v²).

⎩^⎪11 1

22 2

Разделив второе уравнение на первое, и перегруппировав слагае- мые, получим

m₁u₁m₂u₂m₁v₁m₂v_2; (3.67)

u₁u₂v₁v_2. (3.68)

Неизвестные скоростиu₁иu₂найдем, воспользовавшись прави- лом Крамера, хотя систему уравнений (3.67), (3.68) можно решить и другими способами. Для этого запишем следующие определители:

Δ_u1

_Δm1;

1;

m₁v₁m₂v₂;

v₁v₂;

m₂;

1;

m_2;

1;

(m₁m₂);

(m₁m₂)v₁2m₂v₂;

_{Δ m1};

m₁v₁m₂v₂;

(mm)v2m v.

^u21;

v₁v₂;

2 12 11

Теперьполучим выражения для скоростей тел после удара,являю-щихся решениями системы (3.67), (3.68).

^Δ_u(mm)v2m v

1

u^{11 21 22;} (3.69)

Δ m₁m₂

^Δ_u(mm)v2m v

2

u^{22 12 11.} (3.70)

Δ m₁m₂

В таком виде полученные выражения для анализа достаточно сложны. Наиболее интересные частные случаи рассмотрим ниже в примерах решения задач.