Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение абсолютно неупругого удара. Могут ли уп- ругие тела сталкиваться абсолютнонеупруго?

2. Дайте определение центра тяжести материального тела, цен- трального и нецентральногоудара.

3. Всякий ли абсолютно неупругий удар является центральным, а центральный — абсолютноупругим?

4. Математическипроанализируйтечастныеслучаиабсолютноне-упругого столкновения двухтел.

5. Обоснуйтеутверждение,чтошары,движущиесянавстречудругдругу,послеабсолютнонеупругогоударавместебудутдвигатьсявсто- рону движения шара с большимимпульсом.

6. Может ли скорость тела, образованного после абсолютно не- упругого столкновения, превышать скорость каждого из тел до их столкновения?

Примеры решения задач

Задача 3.16

Найти изменениеΔKкинетической энергии двух шаров массами

mиm, имеющих скорости^�и^�после их центрального и абсолют-

_{1 2} v_1v2

но неупругого удара.

Дано:mиm;^�;^�.

_{1 2}v_1v2

Найти:ΔK.

Система уравнений для решения задачи имеет вид:

m v²m v²

_K11_22¹ 2 2

1 2



(mm)u²

K

2 ₂

m m

� �

^� 1^v1 2^v2

• кинетическаяэнергияшаров

доихстолкновения; (1)

• кинетическая энергия шаров послеихстолкновения; (2)

u

m₁m₂

— скорость шаров послеихстолкновения; (3)

ΔKK₁K₂— изменение кинетической энергии шаров

из-застолкновения. (4)

1^v1 2^v2

С учетом (3) запишем кинетическую энергию шаров после их столкновения (2) в виде

K₂

1

2(m₁m₂)

(m^�m^�)2. (5)

Подставляя (1) и (5) в соотношение (4), имеем

1^⎡ ( ^�m^�)2⎤

ΔK

_⎢mv^2mv^2

^m1^v1 2^v2_⎥,

_2⎣11 22

m₁m_2⎦

или, после приведения к общему знаменателю,

ΔK ^{1 ⎡}(mm)(mv^2mv²⁾(

^�m^�)^2⎤

2(m₁m₂)^⎣

1 2 11

22 ^m1^v1 2^v2_⎦

ΔK

¹ (m²v²m mv²m mv²m²v^2

1 1

1 2 2

2(m₁m₂)

1 21 22

m²v²m²v²2mm^��).

11 22

1 2^v1^v2

После простых преобразований имеем

ΔK

m₁m₂

(v^2v^22^��). (6)

1

2

2 (mm₂)

v₁v₂

Окончательный результат имеет вид

ΔKKK

m₁m₂

(^�^�)^2. (7)

v₁v₂

2 (m₁m₂)

В заключение отметим, чтоΔK> 0,т.е. кинетическая энергиясис-темы тел до столкновения всегда превышает кинетическую энергию образующегося после столкновения тела, так как все множители в

7. положительны. Согласно закону сохранения энергии (в общефи- зическом смысле) разность между этими энергиями превращается в эквивалентное количество тепловой энергии. Причем, согласно (6), количество тепловой энергии определяется взаимным направлени- ем начальных скоростей. Если скорости направлены навстречудруг

другу(удар«лобовой»),тоскалярноепроизведениескоростейотрица-

тельно:^��vvcosvv< 0. Если же скорости тел направлены в

^v1^v2 12 12 _��

однусторонуиоднотелодогоняетдругое,тоv₁v_2v₁v_2cos0v₁v_20. Количествотепловойэнергии,соответствующеекаждомуизэтихслу- чаев, получим на основе соотношения(6)

ΔK₁

m₁m₂

2(m₁m₂)

(vv)^2; ΔK

_ m₁m₂

2(m₁m₂)

(vv)².

1 2

1 2

2

Изсравненияэтихформулследует,чтоприлобовомударетелоб-разуетсябольшееколичествотепла,чемпридвиженииихдругзадру- гом,т.е.Δ₁Δ_2.

1 2

Ответ:ΔKKK

m₁m₂

(vv)².