Примеры решения задач

Задача 1.1

Самолет держит курс на север со скоростьюv₁= 200м/сотноси- тельноЗемли.ДуетвосточныйветерсоскоростьюотносительноЗем- лиv₂= 15м/с.Найти скорость самолета v относительновоздуха.

Дано:v₁= 200 м/с;v₂= 15 м/с.

Найти:v. _�

_�Скорость самолета относительно воздухаvравна

v^�^�

v₁v₂

Изобразим треугольник скоростей.

Так как^�^�, модуль искомой скорости находим

v₁v₂

по теореме Пифагора:v=  200,56м/с.

Ответ: скорость самолета относительно воздухаv= 200,56 м/с.

Задача 1.2

Найти модуль напряженностиЕполя двух точечныхзарядовq₁₌1нКлиq₂₌2q_1вточке,находящейсянасерединесоединяю- щегоихотрезкадлинойr=1м.

Дано:q₁= 1 нКл;q₂= 2q₁;r= 1 м.

Найти:Е.

� � � � �

Согласно принципу суперпозиции полейEE₁E₂, гдеE₁иE₂напряженности полей зарядовq₁иq₂в точкеА. Спроектируем это уравнение на осьОX.

OX:Е_x=Е₁Е₂.

�

Знак «» говорит о том, что векторEнаправлен противополож-

но осиОX. Подставим числовые значения

Ответ: модуль напряженности поля двух точечных зарядов

Е=

Задача 1.3

К телу приложены силы

�

F₁и

�

F₂,

уголмеждукоторыми=20°.Най_�-

ти модуль результирующей силыF,

действующей на тело, еслиF₁=F₂= 20 Н.

Дано:= 20°;F₁= 20 Н;F₂= 20 Н.

Найти:F. _�

Результир_�ующ_�аяс_�илаF_�,дей_�ствующаянатело,—этовек_�торна_�я

сумма силF₁иF₂:F=F₁+F₂. Найдем сумму векторовF₁иF₂

по правилу параллелограмма (см. с. 13). Для треугольника силОДЕ

(ОД=F₂,ДЕ=F₁,ОЕ=F) запишем теорему косинусов:

2 2

ОЕ²=ОД²+ДЕ²2ОДДЕcos

или

где=180°.

F²=F₁+F₂2F₁F₂cos,

Так как по условиюF₁=F₂, то

.

Ответ: модуль результирующей силыF39,4 H.

Задача 1.4

Теломассойm= 1 кг движется с постоянной по модулю скоро- стьюv= 10м/спо окружности. Найти модуль изменения импульса телаΔpпри прохождении четверти окружности (импульсомназыва-

v

етсяпроизведениемассытелаmнаегоскорость^�).

Дано:v= 10 м/с;m= 1 кг.Найти:Δp.

Изменение какой-либо величины — это разность

p p₂

 .

p₁

конечной и начальной величины.Значит,Δ^{�� �}

Пустьтелонаходилосьвточке1и,двигаясьпочасовой стрелке, оказалось в точке 2.Таккак импульс поопре-

делению есть^�m^�, то векторы^�и^�сонаправлены.

p _�v p v

Вектор скоростиv, как вы скоро узнаете из курса ме-

ханики, направлен по касательной к траектории тела.

Поэтому в точке 1 вектор^�горизонтален, а в точке 2

� ^p1 �

векторp₂вертикален. Построим разность векторовp₁

и^�(правило вычитания векторов изложено на с. 15).

^p2 � �

Так какp₁p₂, то по теореме Пифагора

Δp 

2mv

211014,1^кгм_.

с

Ответ: модуль изменения импульса телаΔp14,1^кгм.

с

Задача 1.5

Вектор скорости тела_�меняется со временем по закону

_� � �

v(t) = 6ti+ 4j12t³k, м/с,

� � ^�

гдеt— время, аi,j,k— орты координатных осей. Найти зависи-

v

�

мостьмодуляскор_�ости_�отвреме_�ниv(t).Дано: (t) = 6ti+ 4j12t^3k,м/с.

Найти:v(t). _�

�

В данной задаче векторvвыражен через проекции на координат-

�

ныеосииортыi_�,j,kкоординатныхосей(см.с.16).Сомножители

�

при ортахi,

�

jиkэтопроекциивектораскоростинаосиOX,OY,OZ,

соответственно.Такимобразом,v_x=6tм/с,v_y=4м/с,v_z=12t^3м/с.Тогдамодуль вектораскорости

v(t)  36t²16144t⁶_{, м/с.}

Ответ: зависимость модуля скорости от времени

v(t)36t²16144t⁶_{, м/с.}