Незамкнутая система

Если система материальных тел не является замкнутой и на вхо-

Ф₁

,

…,

Ф₂

Ф_n

дящие в нее тела действуютвнешниесилы состороны

«внешних» тел, то импульс системы не является величиной постоян- ной. Система уравнений движения для всех тел имеет вид

^⎧d(mv)

...,

_⎪dt 11

^F12

^F13 ^F1n^Ф1

^⎪d

⎨

^⎪_⎪dt(m₂v₂₎F_21F_23...F_2nФ_2,

^⎪...

(3.59)

⎪

^⎪d

^⎪⎩dt

(mv)  ...  .

n n^Fn1^Fn2 ^Fn,n1^Фn

Если теперь сложить все эти уравнения, то получим

^d_mv_

^.

dt_i

ii

i,k

^Fik ^Фi

i

Суммавнутреннихсил,согласно (3.57),равна нулю.Следовательно,

^d_mv_

, (3.60)

dt_i

ii ^Фi

i

то есть производная от полного импульса незамкнутой системы рав- на геометрической сумме всех внешних сил,т.е. полный импульс не сохраняется.

Поскольку уравнение (3.60) — векторное, то оно эквивалентно трем уравнениям для компонент импульса системы по трем коор-

динатным осям

d_mv

_Ф_;

d_mv

_Ф_;

d_mv

_Ф_,

dt_i

iix ix

i

dt_i

iiy iy

i

dt_i

iiz iz

i

^гдеФix^,Фiy^,Фiz

• суммыкомпонентвсехвнешнихсилпока-

i i i

ждой из координатных осей. Если сумма компонент всех внешних сил, действующих на систему, в каком-либо определенном направ- лении, например в направлении оси х, равна нулю, то для этого на- правления

d_mv

0^d_mv

const. (3.61)

dt_i

i ix

dt_i

i ix

Следовательно, компонента полного импульса системы в направ- лении, в котором не действуют внешние силы, есть величина посто- янная,ивэтомнаправлениинезамкнутаясистемаведетсебякакзамк- нутая. Согласно (3.60) полный импульс незамкнутой системысо-храняется, если действующая на нее результирующая внешняя сила равнанулю.

Отметим, что в микроскопическом мире атомов и молекул вто- рой и третий законы Ньютона не выполняются, а законы сохранения энергиииимпульса,чтоподтверждаетсямногочисленнымиэкспери- ментальными данными, продолжают выполняться. Именно поэтому считается,чтозаконысохраненияимеютболееобщийхарактерирас- сматриваются как более фундаментальные, чем законыНьютона.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение импульса тела. Импульс — величина век- торная илискалярная?

2. Представьте кинетическую энергию тела через его импульс имассу.

3. Выведите закон сохранения импульса для замкнутой и незамк- нутой систем материальныхтел.

4. Почему силы трения, действующие в замкнутой системе, при- водят к нарушению закона сохраненияимпульса?

5. Почему закон сохранения импульса в механике нельзя считать самостоятельнымзаконом?

6. Каквыбратьпространственноенаправление,вдолькоторогосо-храняется компонента полного импульсасистемы?

7. В каком случае полный импульс незамкнутой системы сохра- няется?

8. Почему законы сохранения энергии и импульса считаются бо- лее фундаментальными, чем законыНьютона?

Примеры решения задач

Задача 3.15

В результате взрыва неподвижное телораспадаетсяна тричасти.Две егочастимассамиm₁₌1кгиm₂₌2кгразлетаются подпрямымугломдругкдругусначальны-мискоростямиv₁₌12м/сиv₂₌8м/с.Тре-тьячастьначинаетдвижениесоскоростьюv₃₌40м/с.Найтиеемассуm_3иуглымеждунаправлениями движения частейтела.

Дано:m₁= 1 кг;m₂= 2 кг;v₁= 12 м/с;

v₂= 8 м/с;v₃= 40 м/с.

Найти:m₃,.

Согласно закону сохранения импульса

«импульс до события равен импульсу по- сле события», т. е.

m

2^v2

m

1^v1

0 ^�m^�m^�.

^m1^v1 2^v2 3^v3

Поскольку импульсы первых двух частей направлены под пря- мымуглом,тоимпульстретьегоосколкаможетиметьнаправлениеи длинутолько,какпредставленонарисунке,т.е.ондолженлежатьна продолжении диагонали прямоугольника и совпадать с ней по дли- не. Используя теорему Пифагора,получим

m²v²(m v)²(m v)².

33 11 22

Из последнего уравнения найдем массу третьего осколка

v

m_3 .

3

Углы между импульсами легко найти, используя следующие со- отношения:

tg^m1v1,arctg^m1v1,

m_2v2 m_2v2

arctg^m1v1.

m₂v₂

Численные значения параметров представлены в ответе.

mv

v

Ответ:m₃

3

0, 5кг;arctg^{1 1}143.

m₂v₂