Задача 3.14

Найтиначальнуюскоростьv₀тела,на-правленнуювдольплос-кости,составляющейугол= 45° с горизон- том, его ускорениеаи коэффициент μ трения тела о плоскость, если

при движении вверх до остановки оно проходит путьS= 3 м за вре- мяt₁= 0,8 с.

Дано:S= 3 м;t₁= 0,8 с;= 45°.

Найти:v₀,а, μ.

Для решения задачи составим следующую систему уравнений:

₂–₁₌A_тр —законсохраненияэнергиисучетом

работывнешнейсилы; (1)

0

2=mgh	в начальном состоянии; — энергия (потенциальная) тела	(2)
h=Ssin	в конечномсостоянии; — высота, на которой находится тело	(3)

_mv²¹ 2

— энергия (кинетическая) тела

вмоментостановки; (4)

^Aтр

_{FтрSFтрScos} — работасилытрения; (5)

F_трmgNma

— второйзаконНьютона; (6)

F_тр–mgsin=ma— проекция векторного уравнения (6)

на ось Ох(см.рис); (7)

–mgcos+N=0 — проекция уравнения (6) на ось Оy;(8)F_тр=N —силатрениятелаоплоскость;(9)v(t)=v_0–at — зависимость скоростидвижения

тела от времени.(10)

Из уравнений (8), (9) найдем значения силы реакции

N=mgcos

и силытрения

F_тр=mgcos.

Подставим полученные значения сил реакции и трения в соотно- шения (7), (5) и (1) и перепишем систему уравнений (1–10) в виде

mv²

mgSsin ⁰mgScos— закон сохранения энергии;(11)

2

a = g ( sin

+cos)

— ускорение тела; (12)

v₀–at₁=0 — скорость тела(13)

в верхней точке движения на высотеhв момент времениt₁.

Из соотношения (11) имеем

v₀

С другой стороны, согласно (12),(13)

. (14)

v_0at_1gt₁(sincos). (15) Изравенства(14)и(15)найдемкоэффициенттрениятелаопо-

верхность

 ^2S

1

gt²cos

tg. (16)

Подставляя (16) в (15) и (12), получим окончательные выражения для начальной скорости и ускорения тела

0

v^2S, a^2S.

t

t

2

1 1

Примечание: задачу 3.14 можно решить, неиспользуязаконсохра-

нения энергии, рассматривая следующую систему уравнений:

⎧

_⎪Sv₀t₁

⎪

at²

1_,

2

⎪

^⎨v₀at₁0,

⎩

^⎪_⎪mamg(sincos).

В этой системе первые два уравнения кинематические, третье — динамическое (второй закон Ньютона). Решите систему самостоя- тельно и получите результаты, представленные в ответе.

Ответ:v₀

_2St₁

= 7,5 м/с;a^2S

t

2

1

= 9,38 м/с²;

 ^2S

1

gt²cos

tg= 0,35.

6. Закон сохранения и измененияимпульса Замкнутая система

Законсохраненияимпульсаявляетсяпрямымследствиемвторого итретьегозаконовНьютона.Дляизолированноготелаэтотзаконяв- ляется очевидным следствием второго закона Ньютона: если на тело не действуют никакие силы, то его скорость, азначит,и импульсос-

таются постоянным. В случае взаимодействия тел закон сохранения импульса является следствием обоих законов Ньютона (если тела взаимодействуют, но не подвергаются действию внешних сил).

Рассмотрим замкнутую систему (взаимодействуют только тела,

1 2 3

включенные в систему), состоящую из материальных телm,m,m,…

Если скорости тел^�,^�,^�, …, внутренние силы, действующие меж-

� � ^v�¹

v_2�v_{3 �}

ду нимиF₁₂,F₁₃, …F₂₁,F₂₃, … (F_ik–сила, действующая наi-е тело cо стороныk-го), то уравнения второго закона Ньютона для каждого из этих тел имеют вид

^⎧d(mv^�)^�

� �

 ... ,

_⎪dt 11

^F12

^F13

^F1n

⎪

⎪_d

⎪

⎨^dt

^⎪...

⎪

d

_� � � �

(m )  ... ,

2^v2^F21^F23 ^F2n

_� � � �

(3.53)

^⎪(mv)FF

...F .

^⎪⎩dt

nn n1 n2

n,n1

Складывая левые и правые части этих уравнений, получим

_{d �} � � � � � �

_{dtmiviFik}(F_i1F_i2...F_ii1F_ii1F_in).(3.54)

i i k i

В правой части равенства (3.54), под знаком суммы, собраны всесилы, действующие между телами замкнутой системы. Представим ихввидетаблицы,вкаждойстрочкекоторойрасположимтолькосилы, приложенные к оп-ределенномутелу

_⎛0 � �

�

... ^⎞

� �

^F12

� _F

_⎜�

^F13

^F1n

⎟

( )^⎜21

0 F₂₃

...

^F2n_⎟

(3.55)

^{F ⎜...} ... ... ... ...^⎟

_⎜� � � _⎟

^⎝F1n^F2n^{... F}n,n1^0⎠

Такаятаблицавматематикеназываетсяквадратнойматрице_�йраз-

мераnnс нулевыми диагональными элементами, так какF_ii0,

(i_�=1,2_�,...,n).Учитывая,чтосогласнотретьемузаконуНьютона

F_ikF_ki, перепишем ее в другом виде

_⎛0 � �

�

... ^⎞

� �

^F12

^� F

_⎜�

^F13

^F1n

⎟

( )^{⎜ 12}

0 F₂₃

...

^F2n_⎟

(3.56)

^{F ⎜...} ... ... ... ...^⎟

⎟

_{⎜� �}

�

... 0

^⎝F1n^F2n

^Fn1,n ^⎠

Такая матрица называется кососимметрической, так как все ее элементы симметричны относительно диагонали и отличаются зна- ком. Складывая эти элементы попарно, получим сумму всех членов в правой части соотношения (3.54)

 

� � � � � �

F_ik (F_i1F_i2...F_ii1F_ii1F_in)0, (3.57)

i k i

т. е. полная сумма всех сил в замкнутой системе равна нулю. Следо- вательно, для всякой замкнутой системы выполняется равенство

^d⎛ �^{⎞ n�}

_{dt⎜⎝mivi⎟⎠}0_miviconst. (3.58)

i i1

Последнее соотношение представляет собой закон сохранения им-пульса для замкнутой системы — полный импульс замкнутой систе- мы есть величина постоянная.