Задача 3.12

Теломассойmбросаютсначальнойскоростьюv_0подугломкго-ризонтуcвысотыhнадповерхностьюземли.Используякинематиче-

ские соотношения, найти зависимости кинетическойK(t) и потен- циальной U (t) энергии тела от времени t и показать для него выпол- нение закона сохранения механической энергии, т. е. независимость от времени полной энергии тела=K(t) +U(t) = const.

Дано:m,v₀,,h.

Найти:K(t),U(t),=K(t) +U(t) = const.

Кинетическая энергия движущегося со скоростьюv(t) тела, его потенциальная энергия на высотеy(t) и полная механическая энер- гия определяются соотношениями

mv²(t)

K(t)

;U(t) =mgy(t);=K(t) +U(t). (1)

2

Скорость тела в произвольный момент времениt

x y

v²⁽t)v^2v²⁽t). (2)

Проекции скорости тела, брошенного с начальной скоростьюv₀

под угломк горизонту, имеют вид

v_x=v_0cos, (3)

vy(t)=v_0sin–gt. (4)

Подставляя их в соотношение (2), имеем

v²⁽t)v^22vgtsin(gt)^2. (5)

0 0

Учитывая, чтоv(t)^dy(t)получим зависимость высоты (y— ко-

^y dt^,

ординаты) тела от времени

t

y(t)_vy()dhv₀tsin

0

Подставляя (5) и (6) в (1), имеем

gt²

. (6)

2

K(t)^m(v^22vgtsin(gt)²⁾; (7)

₂ 0 0

gt²

U(t)mg(hv₀tsin

). (8)

2

Складывая кинетическую (7) и потенциальную (8) энергии, полу- чим полную механическую энергию тела

_mv2

K(t)U(t) ⁰mgh, (9)

2

которая является постоянной, не зависящей от времени величиной. Однако каждое входящее в нее слагаемое от времени зависит. Со- отношение (9) представляет собой закон сохранения механической энергии.

Ответ:= const;

K(t)

2

^m(v²2v gtsin(gt)²);U(t)mg(hv tsin^gt).

₂ 0 0 0 ₂

Задача 3.13

ТеломассойmсовершаетгармоническиеколебаниясциклическойчастотойиамплитудойАнаневесомойпружинескоэффициентом упругостиk.НайтизависимостикинетическойK(t)энергиителаипотенциальнойU(t)энергиипружиныотвремениtипоказатьвыпол-нениезаконасохранениямеханическойэнергии,т.е.независимость отвремениполнойэнергиисистемы=K(t)+U(t)=const.

Дано:k;x(t) =Asint.

Найти:K(t),U(t),=K(t) +U(t) = const.

Кинетическаяэнергиядвижущегосясоскоростьюv(t)тела,по- тенциальная(упругая)энергияиполнаямеханическаяэнергиясис- темы(тело+пружина)определяютсясоотношениями

K(t)

mv²(t)

;U(t)

2

kx²(t)

;K(t)U(t). (1)

2

Знаязависимость координатытелаотвремени (тело совершает гар-монические колебания с циклической частотойи амплитудойА!)

x(t)Asint, (2)

можно найти проекцию его скорости на ось, вдоль которой проис- ходит смещение тела

v_xx'(t)Acost, (3)

и скорость в произвольный момент времениt

vv_x(t)Acost. (4) Подставляя (2) и (4) в (1),имеем

mv²(t)

K(t) 

m²A²

cos^2t, (5)

2 2

kx²(t)

U(t) 

kA²

sin^2t. (6)

2 2

Складывая кинетическую (5) и потенциальную (6) энергии, полу- чим полную механическую энергию тела и пружины

   ^ 

_m2_A2

K(t)U(t) cos^2t

• ^kAsin^2

t. (7)

2

2 2

Изпоследнегосоотношениядовольнотруднозаключить,чтопол- ная механическая энергия не зависит от времени. Принимая во вни- маниезависимостьпериодаколебанийтелаотегомассыиупругости пружины и взаимосвязь между периодом и циклическойчастотой

T2 ; T^2,



получим

 .

Подставляя последнюю формулу в первое слагаемое соотноше- ния (7), имеем

_kA²

(sin²tcos²t)

kA²

.

2 2

Такимобразом, полная механическая энергия системы, состоящейиз тела и пружины, на которой оно колеблется, является сохраняю- щейся, не зависящей от времени величиной. Это обусловлено тем, что в системе действуют только потенциальные силы — сила тяже- сти и упругая сила.

Ответ:= const;

mv²(t)

K(t) 

m²A²

kx²(t)

cos²t;U(t) 

kA²

sin²t.

2 2 2 2