Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение потенциальной энергии системытел.

2. Обоснуйте утверждение: совершение силами, действующими в системе, положительной работы сопровождается изменениями кон- фигурации, приводящими к понижению потенциальнойэнергии.

3. Как изменяется потенциальная энергия системы, если дейст- вующие в ней силы совершают отрицательнуюработу?

4. Может ли потенциальная энергия тела, поднятого над землей, бытьотрицательной?

5. Может ли потенциальная энергия упругой пружины быть от- рицательной?

6. Обоснуйте утверждение: зависимость потенциальной энергии деформированной пружины от квадрата удлинения определяется за- кономГука.

7. Изменятсялиизложенныевышеколичественныерезультаты икачественныевыводы,еслипредположениеопропорционально- стимеждусилойиудлинениемпружины(законГука)небудетвы- полняться?

8. В чем состоит отличие между кинетической и потенциальной энергиями?

9. Всегда ли уменьшение потенциальной энергии системы сопро- вождается возникновением и возрастанием кинетическойэнергии?

10. Обоснуйтеутверждение:всистеме,предоставленнойдействию только внутренних сил, происходят изменения ее конфигурации, со- провождающиеся уменьшением потенциальнойэнергии.

11. Дайте определение устойчивого и неустойчивого состояния равновесия.

12. Работу какого знака совершают внутренние силы, возникаю- щие при отклонении системы от устойчивого (неустойчивого) поло- женияравновесия?

13. Выведете математические условия для нахождения системы в состоянии устойчивого и неустойчивогоравновесия.

Примеры решения задач

Задача 3.9

Если массуm₁= 3 кг тела, висящего на невесомой пружине, уве- личить наm₂= 1кг,то ее длина возрастает наΔL₂= 30 мм. Найтипо-тенциальнуюUэнергию пружины в конечном состоянии.

Дано:m₁= 5 кг;m₂= 1 кг;ΔL₂= 30мм.Найти:U.

Для решения задачи составим следующую систему уравнений с тремя неизвестными величинами: коэффициентом упругостипружи-ныk, удлинениемΔL₂пружины, возникающем в пружине поддей-ствием тела массойm₂; потенциальной энергии пружины в конеч- ном состоянииU

m₁g=kΔL_1—условиеравновесиявначальномсостоянии; (1)(m₁₊m₂)g=k(ΔL₁₊ΔL₂)—условиеравновесия

вконечномсостоянии; (2)

k(ΔLΔL)²

U ^{1 2}— потенциальная энергияпружин

² вконечномсостоянии. (3)

Из соотношений (2), найдем коэффициент упругости

m₂gkΔL₂

kg^m2

ΔL₂

. (4)

Подставляя последний результат в (1), имеем

1 2

mgm g^ΔL1. (5)

ΔL₂

Отсюда найдем удлинение пружины в начальномсостоянии

ΔLΔL^m1. (6)

m

1 2

2

Подставляя(4)и(6)в(3),получимокончательныйрезультат,пред- ставленный вответе.

(mm)²

1

Ответ:U^{1 2}gΔL= 5,4(Дж).

2m₂

5. Законы сохранения и измененияэнергии Замкнутая система

Рассмотрим изолированную систему материальных телm₁,m₂,m₃,

…,междукоторымидействуюттолькосилытяготенияилиупругости (потенциальные силы). Запишем для каждого материальноготела

уравнение второго закона Ньютона.

^� � � �

^⎧m^dv1FF...F,

^⎪1dt

12 13 1n

^{⎪ �} � � �

^⎪⎪^{mdv2FF...F,}

⎨2^dt

^⎪..

21 23 2n

(3.44)

^{⎪ �} � � �

^⎪m^dvnFF...F ,

_� ⎪_⎩

ⁿdt

n1 n2

n,n1

гдеF_ik–сила,действующаянаi-юточкусостороныk-ой(вн_�утрен_�няяс_�ила).Отметим, что в уравнениях отсутствуютслагаемыеF₁₁,F₂₂…,F_ii…,таккактелавзаимодействуюттолькомеждусобойиневзаимо-

действуютсамиссобой.Вдальнейшемизложен_�иибудемформально

считать все эти слагаемые равными нулю, т. е.F_ii0(i= 1, 2, ...,n).

,

.

Пустьзавремяdtчастицысовершаютперемещения

�

dx₁

�

dx₂

...

�

dx_n

Учитывая,что

� �



dx_iv_idt, (i= 1, 2, …,n),

умножим каждое уравнение системы (3.44) слева на^�

t, а справа на

�

dx_i.Врезультатеимеем

� � �

v_id

^⎧m(^�,�)(FF...F)d^�

0,

_⎪1^v1^dv1 1_�2 1_�3 1_�n^x1

_⎪m(^�,�)(FF...F)d^�

0,

_⎨2^v2^dv2 21 23 2n^x2

(3.45)

_⎪...

_{� �} � � � _�

^⎪m(v,dv)(FF

...F )dx

0.

⎩^{nn n n1 n2}

n,n-1 n

Складывая все эти уравнения, получим

ⁿ � �

^n� � � _�

_mi(v_i,dv_i)_Fi1F_i2...F_in)dx_i0. (3.46)

i1 i1

Данное соотношение можно переписать в более краткой форме

ⁿ � �

n_��

_mi(v_i,dv_i)_Fijdx_i0. (3.47)

i1 i,j1

Первое слагаемое в этом равенстве

ⁿ � � ^n⎛mv2⎞

ii

_mi(v_i,dv_i)_{d⎜ ⎟}dK

(3.48)

i1

i1

⎝²⎠

представляетсобойбесконечномалоеизменениекинетическойэнер- гиивсейсистемы.Второеслагаемое—бесконечномалаяработавсех внутренних сил системы. Согласно рассмотрению п. 3.4 работа есть бесконечно малое уменьшение потенциальной энергии. Поэтому ее можно представить ввиде

n_��

_Fijdx_idU. (3.49)

i,j1

С учетом введенных обозначений (3.48) и (3.49) равенство (3.47) перепишем в виде

или

dKdU0

^d(KU)0.

dt

Отсюда следует, что полная энергия системы, в которой действу- ют только внутренние силы, для любого момента времени остается величиной постоянной, т. е.

KUconst.

Значение const в последнем равенстве определяется значениями кинетическойK₀и потенциальнойU₀энергий системы в какой-то оп- ределенный момент времени

KUK₀U₀.

Полнаяэнергияизолированнойсистемы,вкоторойдействуюттоль-ко упругие силы или силы всемирного тяготения, есть величина посто- янная.Это закон сохранения энергии в механике, который длярас-

сматриваемого случая (отсутствуют силы трения) непосредственно вытекает из второго и третьего законов Ньютона.