Потенциальная энергия идеальной деформированной пружиныи закрепленного на нейтела

ПустьидеальнаяпружинадлинойRвнедеформированномсостоя- нии закреплена с одного конца, а на другом находится тело. Пружи- нанеимеетмассыиподчиняетсязаконуГука.Вотсутствиедеформа- ции ее незакрепленный конец может находиться в любой точке по- верхности сферы радиусомR. Если же пружина деформирована, то положение ее незакрепленного конца при растяжении располагает- ся вне сферической поверхности, и внутри — при сжатии. При даль- нейшем рассмотрении считается, что на тело действует толькоупру- гая сила, и сила тяжести тела неучитывается.

Деформацияпружиныможетбытьосуществленатолькоприна- личиивнешнейсилы.Приложениевнешнейсилыкнезакрепленно-му концу пружины (телу) сопровождается возникновениемпротиво-

Fk^�, (3.39)

положно направленной силы_�упругости

r

r

гдеk–коэффициент упругости (жесткости) пружины;^�—мераееде-

формации, вектор удлинения пружины относительно ее недеформи- рованного состояния (вектор, соединяющий незакрепленный конец пружины в недеформированном и деформированном состояниях).

При любом положении незакрепленного конца пружины(тела)впространстве сила упругости при ее растяжении направленакточкезакрепленияпружины,априсжатии—впротивоположнуюсторону,новсегдавдольпрямой,соединяющейтелоиточкузакрепления.Со-гласносоотношению(3.39)силаупругостизависитотрасстоянияме-жду незакрепленным концом пружины в недеформированномиде-формированном состояниях,т.е.F=F(r), и длявычисленияработыупругой силы применима формула (3.33). Следовательно,силаупру-гости — центральная, ее работа не зависит от формытраектории пе-ремещения в пространстве незакрепленного концапружины(тела).Такимобразом,принахождениителавлюбойточкепространства,кромеповерхностисферырадиусомRсцентромвточкезакрепленияпружины (R— длина недеформированной пружины), нанегодейст-вует центральная упругая сила. Вместо введенной вышемоделителанаупругойпружинеможнопросторассматриватьтеловцентральномполе (3.39) и использовать для интерпретации результаты,получен-

ные при рассмотрении тела в гравитационном поле Земли.

Действительно, подставляя упругую силу (3.38) в формулу(3.33), найдем работу этой силы при переходе тела из одного (r₁) положе- ния в другое(r₂)

^{2 r}2

r_{2 k}

^12  

₂₂ 1

AdAF(r)drk rdr(r²r²)

1 r₁ r₁

и представим последнее соотношение в виде разности значений

A₁₂=U(r₁) –U(r₂),

функции

kr²

U(r) C

2

(3.40)

для различных значенийr₁иr₂положения тела в упругом поле.C— произвольная константа. ФункцияU=U(r) — потенциальная энер- гия пружины и тела (не пружины, как обычно считается, а именно пружины + тела!).

Если пружина сжимается, тоr₂<r₁иA₁₂> 0,U(r₁) >U(r₂). В этом случае упругая сила совершает положительнуюработу.Пружина пе- реходит из более деформированного состояния, которое характери- зуется значением функцииU(r₁), в менее деформированное, с мень- шим значениемU(r₂) этой функции.

Если же пружина растягивается, тоr₂>r₁,A₁₂< 0,U(r₁) <U(r₂) и упругая сила совершает отрицательную работу.

Значение потенциальной энергии можно отсчитывать от любо- го начального уровня. Обычно полагают, что потенциальная энер- гия, соответствующая недеформированной пружине, равна нулю,т.е.U(0) = 0, формула (3.40) принимаетвид

kr²

U(r) .

2

Именнообэтомзначениипотенциальнойэнергииобычноине совсемправильноговоряткакопотенциальнойэнергиипружины.

В системе тел, в которой действуют только силы тяжести или уп- ругие силы, всякая работа сил связана с изменением их конфигура- ции,т.е. взаимного расположения тел. Если действующие в системе силы совершают положительнуюработу,то конфигурация при этом всегда изменяется так, что в конце концов способность системы со- вершать работу окажется исчерпанной.Так,сила тяжести тела, под- нятого на некоторуювысоту,двигаясь по произвольной криволиней- ной траектории, совершает положительную работу до тех пор, пока не окажется в ее нижней точке и не сможет более совершать работу (задача3.4).Еслисилаупругостипредварительнорастянутойпружи- ны совершает положительнуюработу,то она сокращается до конфи- гурации, соответствующей недеформированной длине пружины (за- дача 3.5).Такимобразом, поднятое тело и растянутая (сжатая) пру- жинаобладаютограниченным«запасом»работы,которуюонимогут совершить, переходя в конечное состояние. Величина этого «запа- са» работы определяется начальным положением тела в пространст- ве или начальным растяжением (сжатием) пружины,т.е. их началь- нымиконфигурациями.

Отметим, что «наинизшая» конфигурация для силы тяжести не может быть определена так же естественно, как для пружины. Для пружиныивообщедляупругихсил«наинизшей»конфигурациейяв- ляется состояние, в котором деформацияотсутствует.Для поднято- го тела «наинизшим» положением может быть любой уровень: пола, землиит.д.Уровень,относительнокоторогоотсчитываетсяпотенци- альная энергия, если тело поднято на некоторуювысоту,может быть выбран совершенно условно. Представляет интерес не абсолютная величина потенциальной энергии, а лишь ее изменение относитель- но некоторогоуровня.

Всякий раз, когда силы, действующие в системе, совершают по- ложительнуюработу,происходят такие изменения конфигурации, при которых потенциальная энергия системы уменьшается. Наобо-рот,если силы, действующие в системе, совершают отрицательнуюработу,то конфигурация изменяется так, что потенциальная энер- гия возрастает. Для того чтобы силы, действующие в системе,со-вершали отрицательнуюработу,точки приложения сил должны пе- ремещаться в направлении, противоположном действию сил. Этого можно достичь прикладывая к телам системы внешние силы.Тогдавнешниесилысовершаютположительнуюработу,увеличиваяпотен- циальную энергиюсистемы.

Равновесное состояние системы

В системе, предоставленной действию только внутренних сил, происходят изменения ее конфигурации, сопровождающиеся умень- шениемпотенциальнойэнергии.Состояниесистемы,вкоторомсум- ма действующих на тело сил равна нулю, представляет собой поло- жение равновесия. В положении равновесия ускорение тела, соглас- но второму закону Ньютона, тоже равно нулю. Если к тому же тело неподвижно,т.е.егоскоростьравнанулю,тоонобудетнаходитьсяв таком состоянии как угоднодолго.

Рассмотримвопросоповедениипотенциальнойэнергиивблизи положенияравновесиядляодномерногослучая.Пустькакому-либо состояниюравновесиясоответствуютзначениякоординатыx=x_{1и потенциальной энергии}U=U(x₁). При перемещении тела на рас- стояниеdx,действующаянанеговнутренняясилаFвнаправленииx₁совершаетработу

dA = Fdx.

Работа осуществляется за счет уменьшения потенциальной энер- гии системы, т. е.

dAdUFdE^dUF.

dx

Так как в положении равновесия (x=x₁) действующая на тело сила

Fдолжна быть равна нулю, то

⎜ ⎟

⎛^dU⎞

⎝_dx⎠

xx₁

0, (3.41)

т. е. в положении равновесия потенциальная энергия достигает либо минимума либо максимума (точка перегиба не рассматривается, не- смотря на то, что в ней также выполняется условие (3.41)).

При отклонении тела от положения равновесия возникает внут- ренняясилаF,направленнаякравновесномуположениюипрепятст- вующая значительному удалению тела от него. При отклонениитела от этого равновесного состояния сила совершает отрицательную ра- ботуипотенциальнаяэнергиявозрастает.Положениюравновесиясо-ответствует минимум потенциальнойэнергии.

Если же возникающая силаFнаправлена от положения равно- весия, то при удалении тела от состояния, определенного условием (3.41),онасовершаетположительнуюработуипотенциальнаяэнергиясистемыуменьшается.Значит,положениюравновесиясоответствует максимум потенциальной энергии, и тело не может сколько-нибудь длительноевремянаходитьсявсостоянии,близкомксостояниюрав- новесия.Впервомслучаесостояниеравновесияоказываетсяустойчи-вым, во втором —неустойчивым.

Такимобразом,устойчивому состоянию равновесия соответст-вуетминимум,анеустойчивому—максимумпотенциальнойэнергии.Таккак максимум или минимум функции в точке экстремума опре- деляется знаком второй производной в этой точке, то условиямиус-тойчивого и неустойчивого равновесия системы являются следую- щиесоотношения:

_dU(x₁)_0,

dx

_dU(x₁)_0,

dx

dU²(x)

¹0—равновесиеустойчиво, (3.42)

dx²

dU²(x)

¹0—равновесиенеустойчиво. (3.43)

dx²

В состоянии устойчивого равновесия конфигурация системы та- кова, что ее потенциальная энергия принимает минимальное зна- чение. Иначе говоря, любая замкнутая система стремится перейти в такое состояние, в котором ее потенциальная энергия минимальна. Последнее утверждение известно как принцип минимума потенци- альной энергии.

В общем случае, если потенциальная энергия системы представ- ляетсобойфункциюнесколькихпеременных,томатематическоерас- смотрение вопроса об устойчивости равновесного состояния значи- тельно усложняется, хотя представленная выше качественная карти- на неизменяется.