4. Потенциальнаяэнергия

Консервативные и неконсервативные силы

В механике широко используется понятиесилового поля— огра- ниченная или неограниченная область пространства, в каждой точке которогонатело^{1действует}сила,вобщемслучаезависящаяоткоор- динативремени.Еслиработасилполя,действующихнаперемещаю- щеесявнемтело,определяетсятольконачальнымиконечнымполо- жениямителавпространствеинезависитотвидаеготраектории,то силовоеполеназываетсяпотенциальным,асилы,приложенныектелу состороныполя,—консервативнымиилипотенциальными.

Взадаче3.4показано,чтосилатяжести—консервативная,таккакееработанезависитотформыпутииопределяетсялишьначальны- мииконечнымиточкамитраекториидвижениятела.

Центральная сила— приложенная к телу сила, линия действиякоторой при любом положении тела проходит через некоторую оп-

¹Здесь и далее под телом понимается либо материальная точка, либо объект, размеры которого значительно меньше рассматриваемой физической системы или траектории, по которой он движется. Используется для того, чтобы отли- чать материальную точку от пространственной.

ределенную точку пространства. Модуль центральной силы зависит только от расстояния между этой точкой и центром масс тела. При- меры центральных сил — сила тяготения, кулоновские силы притя- жения и отталкивания, упругие силы пружины, закрепленной с од- ного конца.

Покажем, что центральные силы также являются консерватив-

ными и их работа не зависит от тра-

екториителамеждудвумя,заранееоп- ²

ределенными точками пространства.

Согласноопред_�еле_�ниюэлементарной

работыdA(F,dS)F_�dScos(– ₁

угол м_�ежду векторомFсилы и векто-

ромdSэлементарного перемещения).

ВеличинаdScosпредставляетсобо_�йпроекцию вектора перемещенияdS

на направление силы, котораялежит

на радиус-векторе,т.е.dScosdr(см. рис).

Рис. 3.2

Согласно определению центральной силы ее модуль зависит толь-коотвеличинырадиус-вектора:FF(r)_�.По_�этомуэлементарнаяра-

бота определяется соотношениемdA(F,dS)F(r)dr. Работа цен-

тральной силы между начальным (1) и конечным (2) положениями тела в пространстве выразится через определенный интеграл

^{2 r}2

A₁₂_dA_F(r)drФ(r₂₎Ф(r₁)_{, (3.33)}

1 r₁

гдеФ(r) — первообразная функцииF(r). Согласно (3.33) значение ра- ботыA₁₂зависит только от расстоянийr₁иr₂, но не зависит от фор- мы траектории, по которой тело переходит из положения 1 в положе- ние2.Следовательно,силатяжестиивсецентральныесилыявляютсяконсервативными.Можно дать другое, эквивалентное приведенному выше определению консервативных сил:работа консервативных силпо любому замкнутому пути равнанулю.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух тел

Есливсистемедействуюттолькоконсервативныесилы,томожно ввестипонятиепотенциальнойэнергии.Пустьтеломассойmнаходит-

ся в гравитационном поле Земли, масса которойM. Сила взаимодей- ствия между ними определяется законом Всемирного тяготения

F(r)G^Mm,

_r2

гдеG=6,6745(8)10^–11м3/(кгс²)—гравитационнаяпостоянная;r— расстояниемеждуихцентрамимасс.Подставляявыражениедлягра- витационной силы в формулу (3.33), найдем ее работу при переходе тела из точки с радиус-векторомr₁в точку с радиус-векторомr₂

^{2 r}2

r2_dr

^⎛1 1^⎞

⎟

A_12dA_F(r)drGMm_r

GMm_⎜⎝r

 . (3.34)

^r⎠

1 r₁ r₁^{2 2 1}

Представим соотношение (3.34) в виде разности значений

A₁₂₌U(r₁)–U(r₂), (3.35)

функции

U(r)G^MmC

r

(3.36)

дляразличныхзначенийрасстоянийr_1иr₂.ВпоследнейформулеC— произвольнаяконстанта.

ЕслителоприближаетсякЗемле,котораясчитаетсянеподвижной, тоr₂<r₁, 1/r₂–1/r₁> 0 иA₁₂> 0,U(r₁) >U(r₂). В этом случае сила тя- жести совершает положительнуюработу.Телопереходит из некото- рогоначальногосостояния,котороехарактеризуетсязначениемU(r₁) функции (3.36), в конечное, с меньшим значениемU(r₂).

ЕслижетелоудаляетсяотЗемли,тоr_2>r₁,1/r_2–1/r_1<0иA_12<0,

U(r₁) <U(r₂), т. е сила тяготения совершает отрицательную работу.

ФункцияU=U(r) является математическим выражением способ- ности гравитационных сил, действующих в системе, совершать ра- боту и согласно данному выше определению представляет собой по- тенциальную энергию.

Отметим, что потенциальная энергия обусловлена взаимным тя- готением тел и является характеристикой системы тел, а не одного тела.Однакоприрассмотрениидвухилибольшегочислателодноиз них (обычно Земля) считается неподвижным, а другие движутся от- носительно него. Поэтому часто говорят о потенциальной энергии именно этих тел в поле сил неподвижноготела.

Поскольку в задачах механики представляет интерес не величина потенциальной энергии, а ее изменение, то значение потенциальной энергии можно отсчитывать от любого начального уровня. Послед- нее определяет значение константы в формуле (3.36).

Так, если считать, чтоU() = 0, то формула (3.36) принимает вид

U(r)G^Mm.

r

Пусть нулевой уровень потенциальной энергии соответствуетпо-верхностиЗемли,т.е.U(R)=0,гдеR–радиусЗемли.Запишемфор-мулу(3.36)дляпотенциальнойэнергиипринахождениителанавы- сотеhнадееповерхностьювследующейформе

U(Rh)G^Mm

Rh

C. (3.37)

Полагая в последней формулеh= 0, имеем

U(R)G^MmC.

R

Отсюда найдем значение константыCв формулах (3.36, 3.37)

CG^Mm.

R

После подстановки значения константыCвформулу (3.37), имеем

U(Rh)G^MmG^MmGMm^{⎛ 1}

• ^1⎞G ^Mm h.

Rh R

^⎝⎜Rh R^⎟⎠ R(Rh)

Перепишем эту формулу в виде

U(R+h) =mg_hh,

гдеg_h

G ^M

R(Rh)

• ускорение свободного падения тела навысоте

hнад поверхностью Земли.

Вприближенииh«Rполучаемизвестноевыражениедляпотен- циальнойэнергии,еслителонаходитсянанебольшойвысотеhнадповерхностьюЗемли

гдеgG^M

_R2

U(h) =mgh, (3.38)

• ускорение свободного падения тела вблизиЗемли.

В выражении (3.38) принята более удобная запись:U(R+h) =U(h). Изнеговидно,чтопотенциальнаяэнергияравнаработе,которуюсо- вершает гравитационная сила при перемещении тела с высотыhнад

Землей на ее поверхность, соответствующую нулевому уровню по- тенциальной энергии. Последнее служит основанием считать выра- жение (3.38) потенциальной энергией тела над поверхностью Земли, говорить о потенциальной энергии тела и исключить из рассмотре- ния второе тело — Землю.

Пусть тело массойmнаходится на поверхности Земли. Для того чтобы оно оказалось на высотеhнад этой поверхностью, к телу не- обходимо приложить внешнюю силу, противоположно направлен- ную силе тяжести и бесконечно мало отличающуюся от нее по мо- дулю. Работа, которую совершит внешняя сила, определяется сле- дующим соотношением:

Rh

Rh_dr

_⎡1⎤Rh

R

⎛ ^{1 1⎞}

A

или

_F(r)drGMm_{ 2}

r

R R

GMm_{⎢⎣r⎥⎦}

GMm_{⎝⎜RhR⎠⎟}

AGMm ^h .

R(Rh)

Последнее равенство в приближенииh«Rпринимает вид

AGMm^h

_R2

G^Mmhmgh.

_R2

Последнеепозволяетсчитать,чтоработавнешнейсилыприводит к созданию «запаса» работы и увеличению потенциальной энергии. Работа внутренних сил уменьшает потенциальную энергию итратит

«запас» работы, созданный внешней силой.