4. Координатывектора

Прямоугольными координатами век-

тора^�называются проекции векто-

_�a

Рис. 1.8

раaна оси координат (рис. 1.9). Ко- ординаты вектора обозначаются бук- вамиa_x,a_y,a_z.

Запись:

�

a={a_x,a_y,a_z}. (1.3)

�

Векторыi,

� ^�

j,k, изображенные

на рисунке, называютсяединичнымиортами(единичными векторами) ко- ординатных осей. Их модули равны единице, а направления совпадают с направлением осейОX,ОYиОZ. Зная

a

проекциивектора^�,можнопредста-

Рис. 1.9

вить его как

_� � � ^�

a=a_xi+a_yj+a_zk. (1.4)

5. Длинавектора

Длина вектора^�= {с,с,с} выражается через его координаты по

^c x yz

теореме Пифагора формулой

c

|^�|=

. (1.5)

Посленахождениявектора^�,являющегосясуммойвекторов^�

_� c a

c

иb,вфизикечастовозникаетзадачанахождениямодулявектора^�,

т. е. его длины. Возможны следующие случаи:

1. a

   Складываемые векторысонаправлены(^�

b). В этом случае

от векторной записи

� � ^�

Рис. 1.10

c=a+b (1.6)

легко перейти к скалярной, спроектировав уравнение (1.6) на осьOX(рис. 1.10)

OX:с=a+b. (1.7)

2. Складываемыевекто-рыпротивоп_�оложнонаправ-

лены(^�b).Спроектиро-

^a � � ^�

Рис. 1.11

вав уравнениеc=a+bнаосьOX(рис.1.11),получаемOX:–с=a–b. (1.8)

3. c

   Складываемые векторыперпендикуляр-ны(рис. 1.12). Модуль вектора^�находимпо

теоремеПифагора,записаннойдляпря_�мо-угольноготреугольникаODE.⎪ОD⎪=⎪b⎪и

⎪DЕ⎪=⎪^�⎪— катеты треугольника,⎪ОЕ⎪=

c

⎪^�⎪

a

— его гипотенуза.Поэтому

c

⎪^�⎪=

Рис. 1.12

. (1.9)

4. Уголмежду складываемымивекторамипроизвольный(рис.1.13)(не равен 0°, 90°, 180°, как этоиме- ло место выше). В этом случае при-меняетсятеорема косинусов:Квадратоднойсторонытреугольникаравенсум-меквадратовдвухдругихсторонми- нусудвоенноепроизведениесторонна

Рис. 1.13

�

a

косинус угла между ними. Для треугольникаODE, в котором извест- ныстороны⎪ОD⎪=⎪b⎪и⎪DЕ⎪=⎪^�⎪,атакжеугол,теоремазапи-

шетсякак

с²=а²+b²2аbcos. (1.10)

�

a

Применяя теоремукосинусов, следуетпомнить,что в нейидет речьне об угле между складываемыми векторами^�иb(угле), а обугле

= 180°. Так как cos (180°) =cos, выражение (1.10) можно записать в следующем виде:

с²⁼а²⁺b²⁺2аbcos. (1.10)

6. Углымеждуосямикоординативектором

Углы,,,образуемыеположитель-ныминаправлениямиOX,OY,OZсвек-

тором^�= {a,a,a}(рис. 1.14), можно

^a x y z

найти по формулам

cos= ^ax

x y z

a²a²a²

₌a_xa

^�||

, (1.11)

cos= ^ay

x y z

^�||

a²a²a²

a

=_�^y, (1.12)

|a|

Рис. 1.14

cos= ^az

₌a_za

. (1.13)

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение вектора, скалярнойвеличины.

2. Среди перечисленных физических величин выберите вектор- ные и скалярные: скорость, сила, путь, масса, перемещение, темпе- ратура, ускорение, плотность, давление, электроемкость, импульс, влажность.

3. В чем заключаются правила параллелограмма итреугольника,

применяемые длясложениявекторов? _�

4. �

   a

   В каком случае при умножении вектораaна число результи- рующий векторbсонаправлен с вектором^�? Противоположнона-

�

правлен?

�

5. Как вычесть из вектораaвекторb?

6. Чтотакоеортыкоординатныхосей?Какпредставитьвекторче- рез его проекции на координатные оси и орты координатныхосей?

7. Как найти длину вектора^�

зная его проекцииa,a,a

на ко-

a,

ординатные оси?

x y z

8. Как найти угол между осью координат ивектором?

9. Сформулируйте теоремукосинусов.