Задача 3.6

МатематическиймаятниксостоитизнитидлинойLиматериаль-

a

нойточки_�массойm,ккоторойприложенапеременнаягоризонтальнаясилаFiF, под действием которой материальная точка очень мед- ленно движется, так что ее ускорение^�= 0. Найти работувнешней

силыA_F, силы натяжения нитиA_T, силы тяжестиA_mgпри отклонении нити маятника на угол₀от равновесного положения.

Дано:L,m,F,₀. Найти:A_F,A_T,A_mg.

Рис.1 Рис.2

Fm^�T0. (1)

a

1. Согласно первому закону Ньютона (^�0) для любой точкитра-екториивыполняетсявекто_�рноерав_�енство

g

Представим его в виде проекций на горизонтальную

FTsin0 (2)

ивертикальнуюоси

mgTcos0. (3)

Из последнего соотношения получим модуль силы натяжения нити



mg

^T cos

. (4)

Подставляя(4) вравенство (2), получим зависимость модуля внеш-ней силы от угла

Fmgtg. (5)

(Обратите внимание, что внешняя сила — переменная величина, зависящая от угла.). Учитывая, что внешняя сила параллельна оси ОХ, представим ее в виде

^� �

Fimgtg; (F_xmgtg;F_y0). (6)

Входящее в формулу для элементарной работы

� �

dA_F(F,dS)F_xdS_xF_ydS_y

�

(7)

элементарное смещениеdS, можно представить следующим обра-

зом (рис. 2)

^� � � � �

dSidxjdyicosdSjsindS. (8)

�

Найдем проекции смещенияdSна оси координат (рис.2)

dx=cosdS; dy=sindS. (9) Подставляя в формулу (7) проекции внешней силы (6) исмеще-

ния (9), получим

dA_F=mgtgcosdS=mgsindS = mgdy.

�

Следовательно, работа силыFимеет вид

₀ y₀

A_F_mgsindSmg_dymgy₀,

0 0

гдеy₀₌L(1–cos₀)—координатаматериальнойточкиприотклоне- ниинитимаятниканаугол_0(рис.1).Впоследнемсоотношенииуч- тено, чтоdysindS. Окончательный результат имеетвид

A_F=mgL(1 – cos₀).

�

2. СиланатяжениянитиTнесовершаетработы,таккаконадей-

ствует в направлении, перпендикулярном перемещению материаль-

нойточки

dA(^�,d^�)TdScos^0A=0.

_TTS _T

2

2. Работа силы тяжести определяетсясоотношением

_0��

A_mg_mgdS. (10)

0

Принимая во внимание, что

m^{� �}g,d^�^�^�

� �

, )0,

gjm

перепишем (10) в виде

y₀

S idx jdy

(i,j

A_mg_mgdymgL(1cos₀).

0

Отметим, что полная работа, совершаемая всеми силами, дейст- вующими на материальную точку, равна нулю

A_F+A_T+A_mg= 0,

чтосогласуетсястем,чторезультирующаясила,действующаянама- териальнуюточку,согласно условию задачи (1), равнанулю.

Примечание:сравнитерешениеэтойзадачисрешениемзадачи3.3.Ответ:A_F=mgL(1–cos₀);A_T=0;A_mg=–mgL(1–cos₀).

3. Кинетическаяэнергия

Энергия —одно из наиболее значительных понятий в физике.Бу-демрассматриватьэнергиюкак«способностьтеласовершатьработу»¹.Такойподходневполнеточенинеприменимковсемвидамэнергии, вводимым в различных разделах физики. Однако его достаточнодлямеханической энергии, обсуждаемой в настоящей главе. Определим теперьодинизосновныхвидовэнергии—кинетическуюэнергию.

¹Строго говоря, работу совершает не тело, а возникающая при контакте тел сила. Такая «подмена» определения работы силы не приводит к искажению су- щества вопроса. Действительно, в данном случае причиной появления сил яв- ляется контактное взаимодействие тел, которые являются носителями сил, со- вершающими работу.

Движущееся тело может совершить работу над другим телом при контактном взаимодействии с ним. Действительно, летящее пушеч- ное ядро совершаетработу,проламываястену.Падающий нагвоздьмолоток совершает работу по его забиванию. В обоих случаях дви- жущееся тело действует с определенной силой на второе тело ипе- ремещаетего нанекоторое расстояние.Такимобразом,прикон-тактном взаимодействии двух тел, движущегося и неподвижного, возникает сила и перемещение,т.е. совершается работа. Посколь- кудвижущееся тело способно совершитьработу, то онообладает энергией.Энергиямеханическогодвиженияназываетсякинетиче-скойэнергией.

Для того чтобы получить количественное определение кинетиче- ской энергии, рассмотрим частный случай одномерного движения. Пусть на неподвижное тело, находящееся на_�горизонтальнойплос-

кости, вдоль нее действует_�постоянная силаF. Тогда система урав-

нений, связывающая силуF, скоростьv(t) тела, пройденный путьS

за времяtи работуА, совершаемую силой, имеет вид

F=ma; (3.12)

v=att^v; (3.13)

a

at²

S

2

; (3.14)

A=FS. (3.15)

Подставляя в соотношение (3.15) соответствующие параметры (3.12-3.14), получим выражение для работы

2

at² 1

⎛^v⎞2

AFSma

2

 ma²_⎜⎝

_a⎟⎠,

принимающее окончательный вид

AFS

mv²

2

. (3.16)

Теперьвыясним, какую работу могут совершить силы, возникаю- щие при столкновении двух тел. Пусть движущееся тело имеет ско- ростьv,другое тело неподвижно. Для простоты полагаем, что состо- роны неподвижного на движущееся тело, действует постояннаясила

� �

F(силаF

приложена к движущемуся телу). Система уравнений в

скалярной форме аналогичная (3.12–3.15), имеет вид

F=ma; (3.17)

v–at=0t

at²

^v; (3.18)

a

Svt

; (3.19)

2

A=FScos. (3.20)

a

Здесьt– время, в течение которого движущееся тело останавли- вается;S— путь, пройденный точкой приложения силы;^�–уско-

рение этой точки (для простоты считается постоянным), силаFсо- вершаетотрицательнуюработуA,таккакнаправлениясилыипере- мещения противоположны.Теперьв соотношение (3.20) подставим (3.17–3.19)

^⎛ at^2⎞

^⎛v2

av^2⎞

AFSma_⎜⎝vt

2^⎟⎠^{ma⎜}⎝a^2a^2⎟⎠^.

После простых преобразований имеем

mv²

AFS

2

. (3.21)

Обратим внимание на то, что со стороны движущегося тела к не-подвижномутакжеприложенасила.Со_�гласнотретьемузаконуНью-

тонаонапомодулюсовпадаетссилойF,нопротивоположнаейпознаку.Работа, совершенная этой силой, очевидно, определяется со- отношением

A=FScos 0° =FS= –A,

�

так как вектор перемещения движущегося тела и сила(F)направ- лены в противоположные стороны. Отсюда следует равенство

A+A= 0.

Из приведенных простых примеров можно сделать очень важные

выводы.Когданапокоя_�щеесятелоначинаетдействоватьпостоянная

v

по направлению силаF, то приобретаемая им скорость^�совпада-

ет по направлению с силой и возрастает по величине. При этом сила совершает положительную работу (3.16), так как перемещение тела

совпадает по направлению с силой. Наоборот, если на движущееся тело начинает действовать сила, направленная навстречу его скоро- сти (со стороны второго тела при столкновении), то скорость тела уменьшается, сила к нему приложенная совершает отрицательную работу (3.21), так как перемещение тела и сила направлены в проти- воположные стороны. Сила способна совершать работу до тех пор, пока скорость движущегося тела не уменьшится до нуля.

Такимобразом, в результате работы внешней силы тело приобре- таетопределеннуюскорость,авместестемиспособностьсовершатьработу,теряя скорость (3.21). Приэтом

A+A=0. (3.22)

Последнее равенствоозначает,что движущееся тело способно со- вершить ровно столько работы, сколько оно предварительно «запа- сает» под действием внешней силы.

Движущееся со скоростьюvтело массойm, если его остановить совершаетработупомодулю,равную(3.21).Данноевышекачествен- ноеопределениеэнергиикакспособностителасовершатьработу,со- вместно с соотношением (3.21), позволяет ввести энергию тела, свя- занную с его движением, следующимобразом

mv²

K . (3.23)

2

Последнее соотношение представляет собойкинетическую энер-гиюдвижущегося тела.

Рассмотримболееобщий,чемприведенны_�йвышеслучай.Пустьна тело действует переменная внешняя силаF, увеличивающая его

скорость,т.е.силасовершаетработунадэтимтелом.Тогдаееработа на произвольной траектории S определяется соотношением(3.7)

� �

A_(F,dS). (3.24)

S

Если воспользоваться вторым законом Ньютона и определением

мгновенной скорости

� ^� �

vd

Fm^dv;dS^�t,

dt

то (3.24) можно переписать в следующем виде:

A_m(^��_m(^�,d^�). (3.25)

dv,v) vv

S S

Подынтегральное выражение представим в форме

(v^�,dv^�)^1dv^2. (3.26)

2

Действительно, с одной стороны,

�

�

(v,^dv)v

dv_xv

dv_yv

^dvz. (3.27)

dt

С другой стороны,

^xdt

^ydt

^zdt

1. dv²

v^dvv

v^dvxv

dv_yv

^dvz. (3.28)

2. dt dt

^xdt

^ydt

^zdt

Сравнение соотношений (3.27)и(3.28) подтверждает правильностьформулы (3.26). С учетом сказанного перепишем (3.25) в виде

d^⎛mv2⎞ mv²

S

^Adt⎜⎝2^⎟⎠^2.

Отсюда следует, что формула (3.21), введенная для кинетической энергии на основании рассмотрения частного примера, не изменя- ется и в общем случае.

_�Еслижескоростьт_�елап_�оддействиемприложеннойкнемусилы

Fуменьшается, то(F,dS)< 0. В этом случае говорят, чтотело со-

вершает работу. Проведя аналогичные преобразования, получим

^{� �} mv²

2

A_(F,dS) .

S

Сравнение последнего соотношения с формулой (3.21) подтвер- ждает сделанный ранее вывод о том, что тело не может совершить большую работу, чем его кинетическая энергия.

Теорема об изменении кинетической энергии

Пустьпр_�идвижениипотраекторииSнателоодновременнодейст-вуютс_�илыF,увеличивающие(илинеизменяющие)скоростьтела,исилы_�F,_�препятствующиеэтомупроцессу.ВобщемслучаекаждаяизсилFиFможет представлять собой сумму сил, приводящих квоз-

растанию скорости тела и уменьшающие ее. Например, силы тяги и трения,действующиенаавтомобиль,(силытяжестииреакциинесо-вершают работыи неизменяют скорость автомобиля). Согласно опре-делению, работа всех сил приложенных ктелу,представима ввиде

� � �

AA_(FF,dS). (3.29)

S

�

Принимая во внимание, что

� �

^{dv �} �

FFm

dt

представим (3.29) в виде

;dSvdt,

�� v2^{d⎛mv2⎞ mv2mv2}

AA_m(v,dv)_{ ⎜ ⎟} ^{2 1.} (3.30)

1

_{S v}dt⎝2⎠ 2 2

Впоследнем_�раве_�нствеv_{— модуль начальной скорости тела, при}

которой силыFиFначинают на него действовать;v_{— конечная}

скорость тела. Если ввести обозначения



mv²

K ¹;K

1 ₂ 2

_mv²

2

2

(3.31)

начальной и конечной кинетической энергии тела, то соотношение (3.30) можно записать в форме

A+A=K_2–K₁₌ΔK, (3.32)

гдеΔK–изменение кинетической энергии тела, произошедшееиз-за работы приложенных к нему сил. Следовательно,полная работасил,действующихнатело,равнаизменениюегокинетическойэнергии.Это утверждение носит название теоремы об изменении кинетиче- ской энергии. Его иногда называют теоремой о связи работы и ки- нетическойэнергии.

Заметим, что теорема об изменении кинетической энергии не яв- ляется новым независимым законом. Она установлена на основании определений работы и кинетической энергии с использованием вто- рого закона Ньютона.