Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение элементарной работы, совершаемой пере- меннойсилой.

2. Прикакихусловияхработасилынаэлементарномучасткепути положительна, отрицательна, равнанулю?

3. Представьте работу силы на элементарном участке пути в виде произведения модулей силы и элементарного перемещения, а так- же через проекции векторов силы и элементарного перемещения на осикоординат.

4. Если вагонетка приходит в движение по горизонтальному пути от кратковременного толчка человека, то совершает ли он при этом работу?

5. Дайте определение работы переменной силы как предельной суммы работ на элементарных участкахтраектории.

6. Дайте определение работы переменной силы как интеграла по траектории движениятела.

7. Получите на основании интегрального представления (3.7) ра- ботыпеременнойсилывыражение(3.3)дляработыпостояннойсилы при перемещении тела по горизонтальномупути.

8. Дайте определение мгновенной и среднеймощности.

9. Покажите на примерах, что средняя мощность зависит от ин- тервала времени, в течение которого совершаетсяработа.

Примеры решения задач

Задача 3.4

НайтиработуA_mgсилытяжестипридвижениителамассойmсвысотыhдо горизонтальной плоскости по произ- вольной криволинейнойтраектории.

Дано:m,h. Найти:A_mg.

Для нахождения работыA_mgвоспользуемся соотношением

A (m^�,d^�)mgcos(m^�,^d^�)dS, (1)

_mg gS _ g S

гдеmg—_{�модул}ьсилытяжести;выражени_�еподзнакомкосинуса

mg

mg

�

(^�,^ dS)— угол междувекторами ^�иdS.

Так как длина проекции элементарного смещенияdSна направ-

лениесилытяжести,т.е.навертикальноенап_�равление,естьэлемен-

тарноеизменениевысотытела,тоcos(^�,^dS)dS=dh.Следователь-

mg _�

но, проекция всего пути на направление вектораmgсовпадает с вы-

сотойh,накоторуюспускаетсятелопридвижениипокриволинейной

mg dS

траектории,т.е.

_cos(^�,^^�)dSh. (2)

Подставляя (2) в соотношение (1), имеем

A_mg=mgh.

Последний результатозначает,что работа силы тяжести, как и в задаче 3.2, не зависит от длины и формы траектории, а определяется лишь изменением высоты тела при движении,т.е. его начальным и конечным положениями по вертикали. Согласно данным выше оп- ределениямвэтойзадачерассмотренаконсервативнаямеханическая система, сила тяжести —потенциальная.

Ответ:A_mg=mgh.

Задача 3.5

НайтиработуA_{упрупругой}силыиработуA_{Fвнешней}силыприравно-мерном растяжении пружиныскоэффициентом упругостиk=120Н/м на расстояниеΔL= 30 см от недеформированногосостояния.

Дано:k= 120Н/м;ΔL= 30 см = 0,3м.Найти:A_упр,A_F.

Пусть сила, возникающая в растягиваемой пружине, подчиняет-

ся законуГука

F_упрkx^, _�

гдеk— коэффициент упругости пружины;x— вектор деформации

x

(^�x–абсолютное удлинение пружины). Знак минус указывает,

что сила упругости и вектор деформации пружины направлены про- тивоположно. Элементарная работа силы упругости определяется следующим образом

^dAупр

(kx^,dx⁾kxdxcos^.

Если пружина удлиняется на величинуΔL, то работа силыупру-гости равна

^Aупр

_dAупр

ΔL

k_xdxk

0

ΔLk

0

ΔL²

₂ .

Для растяжения пружины к ней необходимо приложить внеш- нюю силу по направлению, совпадающему с направлением ее удли- нения. При равномерном перемещении точки приложения внеш-

няясиларавна _{� �}

Fkx,

и ее элементарная работа определяется следующимсоотношением

dA(^�,d^�)kxdxcos 0^o.

_Fkx x

На расстоянииΔLвнешняя сила совершает работу

ΔL

A_F_dAFk_xdxk

0

ΔL _ΔL2

2

k ,

0

значение которой, согласно последней формуле, зависит только от величины растяжения.

Обратитевнимание,чтонезависимооттого,какизменяетсявнеш-няясила,работаупругойсилыпружинызависиттолькоотположе- нияначальнойиконечнойточек,междукоторымипроизошлопе- ремещениеконцапружины.Упругаясилапружины—потенциаль-

ная сила.

Ответ:

^Aупр

k

ΔL²

₂ = –10,8 (Дж);A_Fk

ΔL²

= 10,8 (Дж).

2