Работа переменной силы

В процессе движения тела силы, приложенные кнему,могут из- меняться по величине и направлению. Поэтому нельзя пользовать- ся определением работы (3.2), (3.3) и необходимо его обобщение. Дляэтогопредставимтраекториюдвижениятелаввиденепрерывно-

го_�рядаNотдельных(элементарных)прямолинейны_�хперемещенийΔS_i,(i= 1, 2, 3, …N), на каждом из которых силуF_i,д_�ействующуюна тело, будем считать постоянной.Тогдаработу силыF_iнаi-ом уча-

стке траектории можно представить в форме (3.3)

� �

ΔA_i(F_i,ΔS_i), (3.5)

а работу по перемещению тела вдоль всей траектории — в виде сум- мы на отдельных ее участках

N N_{� �}

A_ΔA_i(F_i,ΔS_i).

i1 i1

Просуммировав элементарные работы для каждого из переме- щений, получимприближенноезначение работы силы на всем пути. Если числоNразбиений траекторииSувеличивать, то точность при-

ближенногоравенствабудетвозр_�астать.Погрешностьравенстваприбезграничном убывании всехΔS_iстремится к нулю.Точноезначе-

ние работы получается какпредел бесконечной суммы

N N_{� �}

Alim_ΔA_ilim_(F_i,ΔS_i). (3.6)

N_i1 N_i1

�

в предположении, что длины всех векторовΔS_iодновременно стре-

мятся к нулю. Используя для предельной суммы в последнем соот- ношении обозначение, принятое в интегральном исчислении, запи-

шем (3.6) в виде

� �

A_dA_(F,dS)_FSdS, (3.7)

S S S

гдеF_S–проек_�циявекторасилынанаправлениеэлементарногопе-

ремещенияdS.

Согласно (3.7) работа силы

�

Fпредставляет собой интеграл по

траектории_�S.В_{�общем}случаесилаявляетсяфункциейкоординативремени:FF(x,y,z,t).

Если на всем пути проекция вектора силы на направление пере- мещения постоянна, то значениеF_Sдля всех элементов суммы одно и то же и его можно вынести из-под знакаинтеграла

AF_SdS. (3.8)

S

Примером может служить движение тела по наклонной плоско- сти(см.задачу3.2).Входящийввыражение(3.8)интегралравендли- не траекторииS,т.е.

A=F_SS=FScos. (3.9)

Длятела,движущегосяпопрямолинейной_{�траектории,}ккоторо-му под угломприложена постоянная силаF, последнее соотноше-

ниеприводитс_�яквиду(3.3).

Если силаFпостоянна по величине и направлению, но величи-

на ее проекции на направление перемещения изменяется, так как траекториядвижениянепрямолинейна,тоиз-подзнакаинтегралав (3.7)можновынестимодульвекторасилыF

� �

AF_cos(F,^dS)dS, (3.10)

^S � �

гдев_�ыраж_�ениепод знаком косинуса(F,^ dS)— угол между вектора-

миFиdS(не путать со скалярным произведением векторов!). Под

знаком интеграла стоит проекция элементарного перемещения на постоянное направление силы. Но сумма проекций всех элементов пути на постоянное направление равна проекции всего пути на это направление. Следовательно, работа силы равна

A=FS_F,

гд_�еS_F—длинапроекциивсегопутинапостоянноенаправлениесилы

F.Примером может служить работа силы тяжестипридвижении тела

по произвольному криволинейному пути (см. задачу 3.4).

Для характеристики работы, совершаемой за единицу времени, пользуютсяпонятиеммощности.Мгновенноймощностьюназывает- ся скалярная физическая величинаР,равная отношению элементар- ной работыdAк бесконечно малому промежутку времениdt, в тече- ние которого работасовершается,

P(t)^dA. (3.11)

dt_{� �}

Принимая во внимание, чтоdA(F,dS), соотношение (3.11) пе-

репишем в виде,

� � �

⎠

P(t)^(F,dS)^⎛�,^dS⎞(^�,^�),

^{dt ⎜}⎝^F

_dt⎟ Fv

�

v

т. е. мощность равна скалярному произведению силыFна скорость тела^�. В общем случае мощность изменяется со временем.

Средней мощностьюв интервале времени отtдоt+Δtназывает-ся величинаP(Δt)равная отношению работыΔA, совершаемой за этот промежуток времени, к его продолжительности

P(Δt)

_ΔA_.

Δt

Единица мощности —Ватт(Вт) 1 Вт = 1 Дж/1 с.