Примеры решения задач

Задача 3.1

Лифт массой m = 300 кг равномерно поднимается на высоту h =

10 м. Найти работыA_FиA_mg, которые совершают при этом сила на- тяжения каната, поднимающего лифт, и его сила тяжести.

Дано:m= 300 кг;h= 10 м.

Найти:_�A_F,A_{mg. �}

ПустьF— сила натяжения каната,mg

• сила тяжестилифта,

поднимающегося равномерно вертикально вверх. Принимая во вни- мание первый закон Ньютона и определение работы силы, запишем следующую систему уравнений:

� _�

Fmg0— условие равномерногодвижениялифта (1)

(первый закон Ньютона);

A_F=Fhcos0° — работасилынатяжения; (2)

A_mg=mghcos–работасилытяжести; (3)

Посколькууголмеждунаправлениямисилынатяженияипереме- щениялифтаравеннулю,товсоотношении(2)присутствуетмножи- тель cos0°. Противоположные направления силы тяжести и переме- щения обуславливают наличие в формуле (3) множителяcos.

Из равенства (1) имеем

F=mg. (4)

Подставляя модуль силы натяжения каната (4) в соотношение (2) и учитывая, что cos0° = 1, cos= –1, запишем выражения для работ и получим их численныезначения

A_F=mgh= 29400 Дж = 29,4 кДж,

A_mg= –mgh= –29,4 кДж.

Отметим, что полная работа, совершаемая силами, действующи- ми на лифт, равна нулю

A_F+A_mg= 0.

Этотрезультатявляется следствием того,чторезультирующаясила,приложенная клифту,равнанулю.

Ответ:A_F= 29,4 кДж;A_mg= –29,4 кДж.

Α α Задача 3.2

НайтиработуA_mgсилы тяжести при дви- жении тела массойmс высотыhпо наклоннойплоскости, образующейуголс горизонтом.

Дано:m,h,.Найти:A_mg.

Запишем выражение для работы согласно ее определению

A (m^�,^�)mgScos(^), (1)

_mg gS ₂

Учитывая,что

A_mgmgSsin. (2)

h=Ssin,

гдеS—длинаплоскости,покоторойдвижетсятело,запишемокон-чательный результат ввиде

A_mg=mgh.

Ответ:A_mg=mgh— работа силы тяжести зависит не от длины пути по наклонной плоскости, а от высотыh, на которую опуска-ется тело.

Задача 3.3

�

Математический маятниксо-стоит из нити длиной L и матери- альной точки массойm, к которойприложенапостояннаявнешняя го-

�

ризонтальная силаFiF. Найти

работу внешней силыA_F, силы на- тяжения нитиA_T, силы тяжестиA_mgпри перемещении материальной

точки от равновесного положения до остановки.

Дано:L,m,F. Найти:A_F,A_T,A_mg.

Для решения задачи запишем следующую систему уравнений:

� _� �

TmgF0— условие равновесиявконечной (1)

точке траектории;

^{� �} �� �

A_F(F,dS)_(iF,idxjdy)—работавнешнейсилы; (2)

S S

A (m^�,d^�)(^�

� �

g,x y)— работасилытяжести; (3)

^{mg gS}

S

_ jmid jd

S

� � _

A(, )TdScos 0— работа силы натяжения нити.(4)

_TTdS_{ 2}

S S

Представим векторное уравнение (1) в виде проекций на осиОx

иOy

⎩

0

⎧^Tsin₀^F;

и получим

^⎨Tcosmg;

F mg

0

sin_0 , cos . (5)

� �

_��Таккакскалярноепроизведениеединичныхвекторов(i,j)0,

(i,i)1, то выражение (2) преобразуем к виду

x₀

A_F_FdxFx_0, (6)

0

гдеx₀=Lsin₀(см. рис). Учитывая последнее равенство и первое из

двух соотношений в (5), запишем работу (6) в окончательном виде

A_F

F²L

.

Аналогичноизсоотношения(3) дляработысилытяжести получим

y₀

^Amg

_mgdymgy₀,

0

гдеy₀=L(1–cos₀). С учетом (5) последний результат принимаетокончательный вид, представленный в ответе.

Ответ:A_F

F²L

⎛

;A_T0;A_mgmgL_⎜1

mg ^⎞

_⎟.