Задача 2.8

Грузовойавтомобиль

N

(1)буксируетлегко- ^a

F

войавтомобильмассойm=2тспомощьютроса с коэффициентом жест- костиk=100кН/м.

^Fтр

F упр _υ

m

X

g

Найти удлинениеΔlтроса, если автомобили движутся скоэффи-циентом трения колес μ = 0,2:

а) с постоянной скоростью, б) с ускорениемa= 0,5 м/с².

Дано:m= 2 т = 2 · 10³кг;k=100 кН/м;a= 0,5 м/с²; μ = 0,2.

Найти:Δl₁,Δl₂.

Модуль силы натяжения упругости

�

F, деформирующей трос, равен силе

�

F_упр.=kΔl=F.

a

Уравнения движения буксируемого автомобиля с ускорением^�

гдеF_тр=N=mg. Из уравнения(1)

.

Х:–mg+kΔl₁₌ma, (1)

Δl₁

_=m(ag)_.

k

Уравнения движения автомобиля с постоянной скоростью

^� � �

+ mg+NF=0,

Х:F_тр+F= 0,

mgkΔl₂0,

Δl₂

_mg_.

k

Ответ:F_тр

=^m(ag)=4,9см,Δl_k 2

^mg= 3,9 см.

k

Задача 2.9

X

Y

X

Автомобиль массойm= 1 т дви- жетсясоскоростью=54км/ч,вод-номслучаепогоризонтальнойдороге,авдругомпопрофилированнойсуг- ломнаклонакгоризонту=15°.Оп-ределить минимальныекоэффици-енты трения колес автомобиля с до- рогой,еслионбудетделатьповорот потраекториисрадиусомкривизны

б) R=50мбеззаноса.

Дано:m= 1 т = 10³кг;R= 50 м;

= 54 км/ч = 15 м/с;=15°.

Найти: μ₁, μ₂.

Уравнение движения автомобиля

. (1)

Для горизонтальной дороги вдоль выбранных осей

(2)

для профилированной дороги

(3)

Решая системы уравнений (2) и (3) относительно μ₁и μ₂, прини-

_2 _2

R Rg

мая чтоа₁=а₂₌ , получим для горизонтальнойдороги_1 ,

²cosgRsin

профилированной₂_{2singRcos.}

² ^2cosgRsin

Ответ:₁_Rg= 0,46,₂_{2singRcos= 0,17.}

Задача 2.10

Телососкальзываетсвершиныгладкой сферырадиусаR= 5 м.Оп-ределитьскоростьтелавмоментот-рываотповерхностисферы,еслиего

начальная скорость₀

равна нулю.

Дано:R= 5 м;₀= 0. Найти:.

ми,^�:

З_�апишемуравнениедвижениятелавпроекцияхнаосисорта-

n

� d

:m

dt

mgsin,

� ^2

n:m

R

mgcosN. (1)

Учитывая, чтоdsdtRd, первое уравнение системы (1) за- пишем в виде

dgRsind. (2)

Проинтегрируем левую и правую часть уравнения (2) в пределах изменения скорости от 0 дои угла от 0 до:

 

_dgR_sind,

0 0

²2gR(1cos).

(3)

Из второго уравнения системы (1) и уравнения (3), учитывая, что в момент отрыва тела от поверхности сферыN= 0, найдем его ско- рость



2

^2gRcos,cos ,

gR



2

^2 

2gR(1

Ответ: 5,72м/с.

), (4)

gR

(5)

Задача 2.11

Теломассойm= 2 кг движется в направлении осиХпод дейст- вием силыF_xF₀sint. В момент времениt= 0 координата тела иегоскоростьравнынулю._�Определитьзависимостьотвременикоор-

динатыx(t)и скорости(t)и их модули в момент времениt= 2 с,

если= 3,14 рад/с.

Дано:F_xF₀sint;x₀₌0;_x(0)=0;t=2с;=3,14рад/с;F₀₌5H.Найти:x(t=2с);(t=2с).

Запишем уравнение движения тела вдоль направления осиХ:

^dx^F0sint. (1)

Тогда

dt m

d_x

^F0sintdt. (2)

m

Проинтегрируем левую и правую часть последнего уравнения в пределах изменения скоростии времениt

 _Ft

0

_d_{x sin}tdt,

0 ^m0

(3)

_x(t)

^F0(1cost).

m

Зависимостьx(t)найдем интегрированием равенстваdx(t)_x(t)dt

x _F

dx(t) ⁰

t

(1cost)dt,

0

0

 _m

(4)

x(t)

F₀

m²

(tsint).

Ответ:x(t2c)

F₀

m²

(tsint)1, 59м,

_x(t2c)

^F0(1cost)0м/с.

m