1. Векторнаяалгебра

Векторомназывается направленный отрезок, для которого зада- ны длина, называемая модулем или величиной вектора, и направле- ние.Скалярнойвеличиной,илискаляром,называетсячисло,тоестьве-

личина,не_{�обладающая}направлением.

СилаF, действующая на материальную точку, естьвектор, так

как она обладает направлением. В курсе физики вы познакомитесь

стакимивекторнымивеличинами,какскорость^�,ускорение^�,им-

_{� � �} v a

пульсp,моменти_�мпульсаL,моментсилы_�M,напряженностьэлек-

трического поляE, магнитная индукцияBи т. д.

Температура тела T естьскаляр, так как с этой числовой величи- ной не связано никакое направление. Масса телаmи его плотность

— тожескаляры.

Над векторами производят действия, называемыесложением,вы-читаниемиумножениемвекторов.

1. Сложениевекторов

a

Если заданы векторы^�

�

иb, то их можно сложить по правилам

c

параллелограмма или треугольника (рис. 1.1 и рис. 1.2 соответствен- но). Вектор^�является их суммой:

� � ^�

c=a+b. (1.1)

Рис. 1.1 Рис.1.2

c

В первом случае суммарный век- тор^�представляет собой диагональ

параллелограмма, построенного на составляющих векторах как на сто-

c_y ^{ронах (начала всехтрехвекторовсовпадают). Во втором случае}по-

ступают так: с концом вектора^�

_� a

Рис. 1.3

совмещают начало вектораb.Со-единив затем начало первоговекто-

c

расконцомвторого,получаютсум-марныйвектор^�.

Составляющей векторавдоль пря-мой (плоскости) называется век- тор, лежащий на данной прямой (плоскости), начало и конец ко-

торогосовпадаютспроекцияминачалаико_�нцав_�ектора.Нарис.1.3

� � �

a_xиа_y—�этосоставляющиевектораa,аb_xиb_y—составляющиевектораb.Проекцией вектора на осьназывается скаляр (число), рав-

ныйповеличинемодулюсоставляющейвекторанатужеось,причемэто число берется со знаком плюс, если направление составляющей вектора совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Проекции суммарного вектора нако-ординатные оси равны сумме проекций слагаемыхвекторов

с_x=a_x+b_x,с_y=a_y+b_y. (1.2)Этовидноизрисунка1.3.

2. Умножение вектора начисло

a

�

Пусть требуется умножить вектор^�на числоn. Если числоnпо-ложительное, то в результате умножения получится новыйвектор

b=n^�,имеющийтоженаправление,чтоивектор^�,номодульвn

a a

раз больший, еслиn1, и м_�одуль в 1/nраз меньший, если 0n1 (рис. 1.4). Модуль вектораbравенb= |n|a, а проекция вектораb

равнаb_x=na_x.

Рис.1.4 Рис.1.5

Если вектор умножить на отрицательное числоk(k< 0), то по-

лучитсявектор^�=k^�,направленныйпротивоположновектору^�,с

c a a

модулем в |k| раз большим, если |k|1, и модулем в¹раз меньшим,

|k|

если 0|k|1 (рис. 1.5). Модуль вектора^�равенс= |k|a, а проекция

c

^c x x

вектора^�равнас=ka.

3. Вычитаниевекторов

Вычесть из вектора^�

�

вектор (рис. 1.6) — значит прибавитьк

_{� �} a b _�

векторуaвектор_b_{, отличающийся от вектора}bтем, что он на- правлен в противоположную сторону (знак

минус указывает здесь противоположность

направления):^�=^�–^�=^�+_^�_.

�

c a b a b

�

Модули векторовbи_b_{равны, а их}

направления противоположны (такие век-торыназываютсяпротивоположными).Проекции противоположных векторов име-ют противоположные знаки. Сами же век-

торынемогут бытьниположительными,ни отрицательными.

Можно находить разность векторо_�в ина-

Рис. 1.6

a

че. Если представить векторы^�

иbвыходящими из одной точки

�

(рис.1.7),торазностьвекторовизобрази_�тсявекторомс,проведен-

a

ным из конца «вычитаемого» вектораbк концу «уменьшаемого» вектора^�.

При вычитании векторов вычи-

таютсяиихпроекции_�накоординат-

ные оси. Если^�^�b, тос=a–b

Рис. 1.7

c a

(рис. 1.8).

x x x