7. Кинематика равномерного вращательногодвижения

Z

Рис. 1.11

Рассмотрим движение м. т. по окруж- ности радиусомRс постоянной линейной скоростьювокруг неподвижной осиZ(рис. 1.11).

r

Положение точки зададим радиус-век- тором^�, исходящим из точкиОосиZ.За

малый интервал времениdtточка совер-шаетповоротнауголd.Движен_�ием.т.

будем характеризовать векторомdи оп-

ределим его направление правиломпра-вого винта(если вращать правый винт по направлению движения точки, то по- ступательное движение винта совпадает

с векторомd^�).Модуль вектораd^�равен углу поворота точки за

  _�

интервал времениdt. Линейное перемещение вектораrза время

dtравно

drRdrsind,

где— угол между вектором^�и векторомd^�,Rrsin.

r 

Вектор перемещения

� ^��



r

^{drd. (1.28)}

Последнее равенство справедливо для бесконечно малого углаd.

Вектор линейной скорости движения точки

r

^{� d�} ⎡^d��⎤ ^��

^{ }_⎢^r_⎥^{r, (1.29)}

_� dt _{⎣dt ⎦}



где^�^{d— вектор угловой скорости.}

dt _�

d)(^�d^�).

_�Вектор угловой скоростисовпадает с направлением вектора

 

Согласно правилу векторного умножения векторов модуль векто- ра линейной скорости

rsinR. (1.30) Вектор линейногоускорения

� ^d�

^d�� ⎡^d��⎤⎡^{�d�⎤ �� �� � �}

a^

^{r}_⎢^r_⎥^_⎢^r_⎥^{r}^{aa,(1.31)}

 n

dt_�dt

_{⎣dt ⎦⎣} dt_⎦

где^�^{d— вектор углового ускорения,�}

[^��]—векторкаса-



^dt � ^��

a_r

^{тельного ускорения,a}_n^{}^{— вектор норм}_�^{ального ускорения.}Направление вектора углового ускорениясовпадает с направ-



 

лением вектора^�(^�^�), если угловая скорость возрастает, и про-

тивоположно (^�^�), если она уменьшается.

 _{� �}

Модули векторовa_rsinR,aR.

n

2

Модуль полного ускорения

a R

. (1.32)

Угловой путь м. т., движущейся по окружности за времяdt

ddt.

Интегрируяпоследнееравенствовпределахизмененияуглаивре- мени, найдем угловой путь(₀)точки за интервал времени t при начальном угле₀

^ t

_d_dt,

₀ 0

t

₀_dt.

0

При постоянной угловой скоростиугловой путь и угол пово-

рота определятся из равенств

₀t,

₀t. (1.33)

При равноускоренном вращении точки по окружности дляt= 0,

(t0)₀const, угловая скорость определяется из соотноше- ния

₀t,

которое получается интегрированием равенстваddtв пределах изменения угловой скорости и времени

 t

_d_dt,

₀ 0

₀t.

Для равноускоренного вращения за времяtугловой путь и угол поворота определяются изсоотношений

ddt,

^{d}₀^{tdt,}

^ t

_d_(₀t)dt,

₀



0

₀₀t

t²



,

2



₀₀t

_t²

2

. (1.34)

Для равнозамедленного вращения

₀t,



₀₀t

_t²

2

, (1.35)



₀₀t

t²



.

2

Согласно определению угловая скорость измеряется в рад/с, уг- ловое ускорение — рад/с².

Примеры решения задач

Задача 1.4.

Материальная точка движетсябезначальной скорости₀0вдольпрямойсускорениемakt,гдеk=const.Определитьвмоментвре- мениt₁= 10 c скорость точки₁и пройденный ею путьs₁, если из- вестно, что за это время ускорение достигает значенияa₁= 5м/с².

Дано:₀0;t₁=10 c;а₁=5 м/с². Найти:₁,s₁.

Движение материальной точки ускоренное и прямолинейное. Из определения ускоренияa^{dнайдем скорость в момент време-}

ниt

dt

t₁ t₁

kt²a t

1 11

_1a(t)dt_ktdt  , (1)

гдеk^a1.

t₁

_{0 0} 2 2

Пройденный точкой путь

^t1 ^t1_kt2

kt³a t²

s_dt_ dt¹^11. (2)

_{0 02} 6 6

at a t²

Ответ:^{1 1}25м/с,s^{1 1}83, 3м.

¹² 6