Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение средней и мгновеннойскорости.

2. Совпадают ли векторы средней и мгновенной скорости мате- риальной точки, движущейся поокружности?

3. Определите физический смысл понятий скорости и ускорения движения материальнойточки.

4. Запишите выражения для векторов скорости и ускорения мате- риальной точки в декартовой системекоординат.

5. Определите модуль вектора скорости и ускорения вдекартовой системекоординат.

6. Дайте определение тангенциального, нормального и полного ускорений.

7. Определите модуль вектора ускорения движения точки по ок- ружности радиусомR= 1 м, в момент времениt= 2 с от начала дви- жения, если зависимость модуля вектора скорости от временизада-

ется уравнением(t)²t².

3

Примеры решения задач

Задача 1.1.

Определить модуль вектора скорости материальной точки в мо-

ментврем_�ениt=5c_�,еслизависимостьрадиусвектораотвремени

� _{2 2}

r(t)At iBsin(t)j, гдеА= 1 м/с ,B= 5 м.

_� � �

Дано:r(t)At²Bsin(t);А= 1 м/с²;В= 5 м;t= 5 с.

i j

Найти:.

Из условия задачи следует, чтоr(t)At²,r(t)Bsin(t),r(t)0,

x y z

и, следовательно, материальная точка движется в плоскостиOXY. Определим проекции вектора скорости.

^dx2At,

x_dt y

^dyBcos(t),

dt

Найдем модуль вектора скорости (см. 1.8.).

  .

Ответ: модуль вектора скорости

 18,7

м/с.

Задача 1.2.

Координаты двух материальных точекx(t)AtB t²C t³,

1 1 1 1

x(t)A tB t²C t³,гдеB₁= 4 м/c²,C₁=–3 м/c³,B₂= –2м/c²,C₂= 1

2 2 2 2

м/c³. Определить проекции ускорения точек на осьХи момент вре- мениt₁, когда их ускорения равны.

Дано:x(t)AtB t²C t³;x(t)A tB t²C t³;

B₁= 4м/c²,

1 1 1 1 2 2 2 2

C₁= –3 м/c³,B₂= –2м/c²,C₂= 1 м/c³.

Найти:t₁,a_1x(t₁),a_2x(t₁).

По формуле (1.11) находим ускорения

d²x

a(t) ¹2B6Ct,a

d²x

(t) ²2B

• 6Ct.

(1)

^1x _dt2 ^{1 1 2x} _dt2 ^{2 2}

В момент времениt₁по условию задачиa_1x(t₁)a_2x(t₁),

2B₁6C₁t₁2B₂6C₂t₁.

Из последнего равенства находим

_tB1B_2.

¹3(CC)

2 1

Из уравнений (1) определим ускорение точек в момент време-

ниt₁

a(t)a(t)2B6C t.2^⎛B^{C1(B1B2)⎞.}

1x 2x

1 11

_⎝⎜1

^C₂^C₁^⎟⎠

Ответ:

_tB1B₂

0, 5c;aa

2^⎛B^{C1(B1B2)⎞}1м/с².

¹3(CC)

2 1

1x 2x

⎝^{⎜1 CC ⎟}⎠

2 1

Задача 1.3.

Точка движется по окружности радиусомR= 3 м по законуs=

=At²⁺Bt,гдеA=0,4м/с²,B=0,1м/с².Определитьдлямоментавре-

мениt= 1 cпосле_�началадвижения модули векторовнормального

� �

a_n,касательногоa_иполногоaускорений.

Дано:s=At²+Bt;A= 0,4 м/с²,B= 0,1 м/с²,R= 3 м,t= 1 c.Найти:a_,a_n,a.

Модуль скорости (см. 1.6.)



t^dSt2AtB.

dt

Модуль вектора касательного ускорения

a^d(t)2A.

^ dt

Модуль вектора нормального ускорения

²⁽t) (2AtB)²

a_{n R}  _R .

Модуль полного ускорения

a 

.

(2AtB)²

Ответ:a_2A0,8м/с²,a_n

0, 27м/с²,

R

a 0,84

м/с².

5. Кинематика равномерного прямолинейного движения

Движение называется равномерным и прямолиней_�ным, если точкадвижется по прямой линии с постоянной скоростью.

Рассмотрим движение материальной точки с постоянной скоро-

стью.Пустьвнача_�льныймоментвремениt=0,координататочки

х=х₀, а скоростьсовпадает с направлением осиОх(рис. 1.8).

5. Кинематика равнопеременногопрямолинейногодвижения 83

Найдем координатухи путьs, пройденный точкой за интервал вре- мениt. Воспользуемся определением

Х

υ υ

⁰ x₀ ^s x

скорости_x

_dxdt

изапишемпереме-

Рис. 1.8

щение точки по осиOХза малый ин-

тервалdt.

где_x

dx_xdt,

• 

  проекциявектораскорости^�

на осьОХ.

Проинтегрируем левую и правую часть последнего равенства в пределах изменения переменныхxиt

x t

_dx_xdt,

x₀ 0

xx₀_xt,

xx₀_xt.

В общем случае с учетом того, что движение возможно и против осиOХ

xx₀t.

При прямолинейном равномерном движении пройденный точ- кой путьsравен модулю ее перемещения

sxx₀t.