3. Скорость

Скорость — это векторная величина, характеризующая быстротуизменения положения м. т. в пространстве.

Дляхарактеристики движениям.т.вводят понятие среднейимгно-венной скорости.

Средней скоростьюназывается вектор, равный отношению векто-

r

ра перемещенияΔ^�к промежутку времениΔt, в течениекоторого

произошло перемещение м.т.

_срΔr_.

_� Δt

Направление_cp, совпадает с направлением вектора перемеще-

нияΔ^�, (^�Δ^�) (рис 1.4).

r _cp r

^Δ �_.

Мгновенной скоростьюназывается предельное значение вектора средней скорости при стремленииΔtк нулю

�

^lim

� �

^r^drr. (1.4)

^Δt0Δt dt

�

Вектор перемещенияdrнаправлен по секущей и при стремлении

Δtкнулюстремитсяккасательнойвточке1(рис_�.1.5б).

Следовательно, вектор мгновенной скоростинаправлен по ка-

сательной в заданной точке траектории в сторону движения м. т. Модуль мгновенной скорости определяется из соотношения

�

ds

�

 

dt dt

, (1.5)

Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от

t₁доt₂

t₂

s_1,2_dt, (1.6)

s

t₁

где^ds

dt

— путевая скорость,_cp_t— средняя путевая скорость

за время движенияt.

С учетом соотношений (1.1)

�

�

^dr

dt

_d � � ^�

_dt(r_xir_yjrk)

_d � � ^�

(xiyjzk)

dt

^�dx

^{�dy �dz}

� � ^�

(1.7)

i j k _xi_yj_zk,

dt dt dt

где_x

_dx,

dt

^dy,

^ydt

_dz

^zdt

• проекции скорости точки наоси

координат.

Модуль вектора скорости в декартовой системе координат

�



. (1.8)

3. Ускорение

Впроцессе движения направлениеимо-дульвектораскоростим.т.могутизменять- ся. Изменение вектора скорости определя- етсяускорением.

Ускорение материальной точки — век- торная величина, характеризующая быст- роту изменения вектора скорости с тече- нием времени.

Поаналогиисосреднейимгновеннойскоростьювводятпонятиесреднегоимгно-

венногоускорения.Пусть_�вмоментвреме-

а)

1

б)

υ₁

υ₂

1

Δt→0

2. υ₂

Δυ

а

ниt_1м.т.и_�меетскорость_1,авмоментt_2—скорость₂(рис. 1.5).Тогдазапромежуток

времениΔtt_2t_1ве_�кто_�рск_�оростиизме-

нится на величинуΔ₂₁, а среднее ускорение

Рис. 1.5

�

^acp

�

Δ

^. (1.9)

Δt

По направлению вектор среднего ускорения^�

, совпадает с век-

a_cp 

торомΔ^�(^�Δ^�).

Мгновенное ускорение

� ^{Δ� d�}

_{2� �.}

.^�.

^acp

alim^{d r}r,

(1.10)

�

�

гдеad.

Δt0_Δt

dt dt²

С учетом соотношений (1.1) и (1.7)

� ^{d� d}

� � ^� _d�d�_d^� � � ^�

a^ (ijk) ^xi ^yj ^zka ia ja k,

dt dt

2^� 2

x y z

� � ^�

dt dt dt

2_� 2_� 2_�

x y z

� � ^�

� ^{dr d}

dx dy dz

, (1.11)

a

dt²

 (xiyjzk) i

dt² dt² dt²

j ka ia jak_dt2 ^{x y z}

гдеa_x

_d_x

dt

d²x

dt^2,

a^dy

^ydt

d²y

dt^2,

a^dz

^zdt

d²z

dt²

• проекцииус-

корения точки на оси координат.

Модуль вектора ускорения в декартовой системе координат

�

a . (1.12)

Вектор ускорения^�можно разложить на

_аτ a

_υ1 2 _υ2

_τ а

два вектораa_иa_n(рис. 1.6).

Составляющая ускорения, характеризую-щая изменение мгновенной скорости по вели-

a_

чине, называетсякасательным (тангенциаль-

1

^аn О

ным) ускорением^�.

Рис. 1.6

Составляющая ускорения, направленная кцентру кривизны траектории и характеризую-

щая изменение вектора скорости по направле-

a_n

нию, называетсянормальным ускорением^�.

Вектор полного ускорения

 

� � �

a a_an, (1.13)

а егомодуль

a . (1.14)

Определим модули векторов^�и^�.

_�a_na_

Введемединичныйвектор,направленныйпокасательнойкза- даннойточкетраекториивсторонудвижениям.т.(рис.1.6).Тогда

вектор мгновенной скорости^�^�(^�^�).

  

Запишем мгновенное ускорение в виде

d^� d(^�) ^�d d^�

_a 

^  ^, (1.15)

dt dt dt dt

где первое слагаемое по определению равно касательному ускорению

а второе —нормальному

a_

�

�

d�

,

dt

_d�

a^, (1.16)

ⁿ dt

Вектор касательного ускорения мо- жет совпадать с вектором мгновенной

� ^�

скорости (a) и может быть ему ан-

_ 

� ^�

типараллелен (a). В первом случае

_ 

движение будет ускоренным, а во вто-

ром — замедленным.

Рассмотримперемещениематери- ^A



�

альной точкипотраекторииизточкиA₁в точкуA₂(рис 1.7а). За малый ин- тервал времениdtединичныйвектор

в точкеА₂равен

� � �

₂₁d,

где₁

A₁

• единичный вектор,опреде-

ляющий_{�направлени}едвижениявточ-кеА₁,d— вектор изменения направ-

ления движения.

Рис. 1.7

�� �

ТреугольникA₁DC, образованный векторами₁,₂иd, равно-

бедренный,т.к.^�^�=1. Приdt0, уголΔмеждувекторами

_{� �} _12

_1и_2умен_�ьшает_�сяистремитсякнулю(рис.1.7б),ауголмежд_�увекторами_1иdувеличиваетсядо90°.Следовател_�ьно,векторd

�

направлен по нормали к скорости. Так какa_n

^d,то и вектор

dt

� �

� �

a_nd,a_n.

Модуль вектора нормального ускорения найдем из треугольников

OA_1A2иA_1DC(рис.1.7а).Указан_�ныет_�реугольникиравнобедренные



иподобные,так как приΔt0 |R₁||R₂

|R,

� �

₁₂

1,гдеR–ра-

диус кривизны траектории. Из соотношения сторон треугольников

^OA1^OA2^A1A2^R1^R2^ΔR. (1.18)

A₁D A₁C CD ₁₂d

Учитывая, что приdt0ΔRdR,R₁R₂R,

d^dR. (1.19)

R

Векторd^�можно представить в видеd^�^�dn^dR, где^�–

  n n

^{� �} �^R

единичный вектор, совпадающийсвекторомd(dn)(рис. 1.7б).Тогдавектор нормального ускорения

�

� ^ndR �^2

где^dR.

dt

a_n

Rdt

n , (1.20)

R

Следовательно, модуль вектора нормального ускорения

� ^2

a_na_n

 . (1.21)

R