Задача 4.5

Найти общее решение дифференциального уравнения

y5y+6y=13sin3x. (1)

Данное уравнение — линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения соста- вим характеристическое уравнение и найдем его корни.

k^2–5k+ 6 = 0,

(k–2) (k–3) = 0,

k₁= 2,k₂= 3.

Таккак корнидействительные различные, согласно таблицесо с.52,общее решениеYоднородного дифференциального уравнения

y5y+6y=0 (2)

имеет вид

1 2 2 1 2

Y=C₁e^{k x}+C e^{k x}=C e^2x+Ce^3x. (3)

Правую часть уравнения (1) можно записать в виде 13sin3x=e^0x(0 cos3x+ 13sin3x).

Здесь= 0,= 3,P(x) = 0,Q(x) = 13 (многочлен нулевой степе- ни). Так как числоz=+i=3iне является корнем характеристи- ческого уравнения, согласно теореме 2, частное решение уравнения

1. ищем ввиде

y*=e^0x(Аcos3x+Вsin3x)=Аcos3x+Вsin3x. (4)

Найдем

(y*)=(Аcos3x+Вsin3x)=3Аsin3x+3Вcos3x (5)

и

(y*)=(3Аsin3x+3Вcos3x)=9Аcos3x9Вsin3x. (6) Подставив (4) и (5) в уравнение (1), получимтождество

9Аcos3x9Вsin3x5(3Аsin3x+ 3Вcos3x) +

+6(Аcos3x+Вsin3x)=13sin3x (7)

или после преобразований

3(А+5В)cos3x+3(5АВ)sin3x=13sin3x. (8) Приравняемкоэффициентыприsin3xиcos3x

_⎧3(A5B)0

⎩

^⎨3(5AB)13.

Решивполученнуюсистемууравнений,получимА=5/6иВ=1/6.

Найденные коэффициенты подставим в (6):

y* =5/6cos3x1/6sin3x. (9)Такимобразом, найден вид частного решения заданного уравне-

ния (1).

Согласно теореме 1, общее решение уравнения (1) имеет вид

y=y* +Y.

Подставив в это соотношение формулы (3) и (9), получим общее решение уравнения (1):

y= 5/6 cos3x1/6sin3x+C₁e^2x+C₂e^3x

Ответ:y= 5/6 cos3x— 1/6 sin3x+C₁e^2x+C₂e^3x.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение линейного неоднородного дифференциаль- ного уравнения второго порядка с постояннымикоэффициентами.

2. Как найти общее решение такогоуравнения?

Тесты математические для электронного экзамена Сложение и вычитание векторов

ТМ1.1Если при обработке детали на токарном станке скорость продольной подачи резцаv₁= 12 см/мин, а скорость поперечной по- дачиv₂= 5 см/мин, то скоростьvрезца относительно корпуса стан- ка при этом режиме работы

1) 17 см/мин 2) 7 см/мин 3) 13 см/мин 4) 12 см/мин 5) 10 см/минТМ1.2Если при движении катера по течению реки его скоростьотносительно берегаv₁= 15 м/с, а скорость течения рекиv₂= 2 м/с,

то скоростьvкатера в стоячей воде

1)17м/с 2)15м/с 3)13м/с 4)11м/с 5) 9м/с

ТМ1.3Еслипридвижениилодкипротивтечениярекиеескорость относительно берегаv₁= 10 м/с, скорость течения рекиv₂= 3 м/с, то скоростьvлодки в стоячейводе

1)3м/с 2)5м/с 3)7м/с 4)10м/с 5) 13м/с

ТМ1.4Еслидвателадвижутсянавстречудругдругусотноситель- ной скоростьюv_отн= 100 км/ч и скорость одного из нихv₁= 64 км/ч, то скоростьv₂второготела

1)5м/с 2) 10 м/с 3) 36 м/с 4) 164 м/с 5) 164к/ч

ТМ1.5Плоское заднее стекло автомобиля наклонено под углом

= 60° к горизонту. Капли дождя падают вертикально относитель- но Земли и перестают попадать на стекло, если скорость автомобиля превышаетv_а= 25 м/с. Скорость капельv_котносительно Земли

1) 12,5 м/с 2) 14,5 м/с 3) 21,7 м/с 4) 25,0 м/с 5) 43,3 м/с

ТМ1.6Набоковомстекленеподвижноготроллейбусакаплидождя оставляют следы, наклоненные под углом= 30° к вертикали. При движении троллейбуса со скоростьюv_т= 9,6 м/с следы капель стано- вятся вертикальными. Скоростьv_ккапель относительноЗемли

1) 4,8 м/с 2) 8,4 м/с 3) 9,6 м/с 4) 16,6 м/с 5) 19,2 м/с

ТМ1.7В каком направлении движется тело, на которое действу- ют три равные силы по 40 Н каждая, лежащие в одной плоскости и направленные под углом= 120° друг к другу?

1)вверх 2) вниз 3) телонеподвижно

4)вправо 5)влево _{� �}

ТМ1.8Если на тело действуют силыF₁иF₂(F₁=F₂= 20 Н), угол между ними= 120°, то модуль результирующей силы, действую- щей на тело,

1)20Н 2)30Н 3)40Н 4)50Н 5)60Н _�

_�ТМ1.9Если на тело действуют две равные по модулю силыF₁и

2

F, угол между ними= 20°, а результирующая сила, действующая

�

на тело, 39,4 Н, то модуль силы^F₂

1)20Н 2)30Н 3)40Н 4)50Н 5) 60Н

ТМ1.10Еслителомассойm=1кгдвижетсясоскоростьюv=10м/спо окружности, то модуль изменения импульса тела при прохожде- нии шестой частиокружности

1. ₀кг ·м

с

2. ₁₀кг ·м

с

3. ₁₄кг ·м

с

4. ₂₀кг ·м

с

5. ₃₀кг ·м

с

ТМ1.11Если теломассойm= 1 кгдвижетсясоскоростьюv= 10м/спо окружности, то изменение модуля импульса тела припрохожде-

нии шестой части окружности равно

1. ₀кг ·м

с

2. ₁₀кг ·м

с

3. ₁₄кг ·м

с

4. ₂₀кг ·м

с

5. ₃₀кг ·м

с

ТМ1.12Если тело массойm= 1кгдвижетсясоскоростьюv=10м/спо окружности, то модуль изменения скорости тела при прохожде- нии половины окружности равен

1)0м/с 2)5м/с 3)10м/с 4)15м/с 5) 20м/с

ТМ1.13Еслителомассойm=1кгдвижетсясоскоростьюv=10м/спо окружности, то модуль изменения скорости тела при прохожде- нии окружностиравен

1)0м/с 2)5м/с 3)10м/с 4)15м/с 5) 20м/с