Задача 4.3

Найти общее решение дифференциального уравнения

2y+5y+2y=0. (1)

Заданное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения соста- вим характеристическое уравнение

2k²⁺5k+2=0. (2)

Найдем корни уравнения (2)

^k1,2⁼

22

_53_.

4

Тогдаk₁=2 иk₂=0,5. Так как корни действительные различ- ные, согласно таблице на с. 52 частные решения уравнения (1) име- ют видy₁=e^2xи y₂=e^0,5x, и общее решение уравнения (1) запишется как

_y=C1e2x_+C2e0,5x_.

Ответ:y=C₁e^2x+C₂e^0,5x.

Задача 4.4

Найти частное решение дифференциального уравнения

y2y+y=0, (1)

удовлетворяющее начальным условиямy(0) = 4,y(0) = 2.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения соста- вим характеристическое уравнение и найдем егокорни

k^2–2k+ 1 = 0

(k–1)²= 0

(k–1) = 0

k_1,2= 1.

Таккаккорнидействительныесовпадающие,согласнотаблицесо с. 52 частные решения данного уравнения имеют видy₁=e^xиy₂=xe^x, а общее решение уравнения (1) запишетсякак

y=C_1e^x+C_2xe^x=e^x(C₁₊C_2x). (2) Найдемy,дифференцируяпоxвыражение(2):

y^{= (}e^x(C₁+C₂x))= (e^x)(C₁+C₂x) +e^x(C₁+C₂x)=

=e^x(C₁+C₂x) +e^x(0 +C₂) =e^x(C₁+C₂x+C₂).

(принахождениипроизводнойпользовалисьформулами(3)и(8)изтаблицыпроизводныхс.33–34иправиломдифференцированияпро-изведениядвухфункций—формулой(2.15)с.34)

Итак,

y=e^x(C₁₊C_2x+C₂). (3)

Для определения частного решения уравнения (1) в равенства (2) и (3) подставим начальные условия:

y(0)=C_1e⁰⁺C₂₀e⁰⁼4, (2*)

y(0)=e⁰⁽C₁₊C₂₀+C₂)=2. (3*)

Получим систему двух уравнений

⎧^C₁^4,

^⎨CC2

⎩1 2

из которой определяем постоянныеC₁= 4 иC₂=2.

Подставив эти значения в общее решение (2) уравнения (1), най- дем частное решение уравнения (1):

y=4e^x–2xe^x. (4)

Ответ:y= 4e^x– 2xe^x.

5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постояннымикоэффициентами

Уравнение вида

а_0y+а_1y+а_2y=f(x), (4.21)

гдеа₀,а₁,а₂— постоянные коэффициенты, аf(x) — непрерывная функция,называетсялинейнымнеоднороднымдифференциальнымурав-нениемвторогопорядкаспостояннымикоэффициентами.(Нижеогра-

ничимся рассмотрением случая, когда правая часть уравнения (4.21) имеет вид

f(x) =Аcosx,

так как это уравнение вынужденных механических колебаний, кото- рые вам предстоит изучать в разделе курса физики «Механика».)

Уравнение с теми же коэффициентамиа₀,а₁,а₂, но с правой ча- стью, равной нулю

а_0y+а_1y+а_2y=0, (4.22)

называется однородным уравнением, соответствующим неоднород- номууравнению(4.21).Длялинейныхнеоднородныхуравненийиме- ютместоследующиетеоремы,спомощьюкоторыхотыскиваютсяих общиерешения.

Теорема 1.Если известно какое-либо частное решениеy* неод- нородного уравнения (4.21), то его общее решениеyесть сумма ча- стного решенияy* и общего решенияYсоответствующего однород- ного уравнения (4.22), т. е.

y=y* +Y. (4.23).

Теорема2.Еслиправаячастьлинейногоуравненияспостоянны- микоэффициентамиможетбытьпредставленаввиде

f(x) =e^x(P(x)cosx+Q(x)sinx),

гдеP(x)иQ(x)—многочленыиz=+iнеявляетсякорнемхарак- теристического уравнения, то существует частное решениевида

y* =e^x(M(x)cosx+N(x)sinx), гдеM(x) иN(x) — многочлены той же степени.