Примеры решения задач

Задача 4.1

Телодвижется прямолинейно со скоростьюv, пропорциональной квадрату времениt. Установить зависимость между пройденным пу-темSивременемt,еслиизвестно,чтовначальныймоментвремени (приt=0)пройденныйтеломпутьS(0)=S₀.

Дано:v~t²;S(0)=S₀. Найти:S(t).

По условию задачи

v~t². (1)

Чтобы вместо знака пропорциональности «~» поставить знак ра- венства, введем коэффициентk. Тогда

v=kt². (2)

По определению скоростьv— первая производная путиSповре- мениt,т.е. путьS, времяtи скорость v связаны дифференциальным уравнением

v^dS. (3)

dt

Приравняем правые части выражений (2) и (3). Получим

^dS=kt². (4)

dt

Соотношение (4) является дифференциальным уравнением пер- вого порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

dS=kt²dt. (5)

Проинтегрировав обе части равенства (5), получим общее реше- ние дифференциального уравнения (4)

_dS_kt²dt

S(t)=_kt²dt

=^kt+C. (6)

3

3

ВначальныймоментвремениS=S₀,поэтому,подставиввобщее решение(6)значениявремениt=0ипутиS=S₀,найдемзначение постояннойинтегрированияС

S(0)=S₀₌0+C. (7)

ТогдаС=S₀.НайденноезначениеСподставимвобщеерешение

(6) и получим частное решение

S(t) =

kt³

3

+S₀. (8)

Ответ: зависимость пройденного теломпутиотвремени имеет вид

kt³

S(t) =

+S₀.

3

Задача 4.2

Скоростьохлажденияповерхностителаввоздухепропорциональ- наразноститемпературтелаивоздуха.Найтизависимостьтемперaту-рытелаTотвремениt,еслизаинтервалвремениt=10стемперaту- рателаизмениласьотT₁₌300KдоT₂₌260K,атемпературавозду- хаT₃₌220Кпостоянна.

Дано:t= 10 с;T= 300 K;T= 260 K;T= 220 К;^dT=k(T—T).

1

Найти:T(t).

2 3 _dt 3

Скорость охлаждения тела — производная температурыTпо вре- мениt, т. е.^dT. Согласно условию задачи,Tиtсвязаны уравне-

нием ^dt

^dT=k(T—T). (1)

_dt 3

Соотношение (1) является дифференциальным уравнением пер- вого порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

dTTT₃

kdt. (2)

Проинтегрируем обе части равенства (2)

 

^dTkdt, (3)

TT₃

 

^d(TT3)kdt, (4)

TT₃

ln(TT₃) =kt+lnC. (5)

Для получения явной зависимостиT(t) возьмем экспоненту от ле- вой и правой части уравнения (5)

_eln(TT_3)ektlnC_{, (6)}

TT₃

_ekt_elnC_,

3

TCe^ktT. ⁽⁷⁾

Выражение (7) является общим решением дифференциального уравнения (1). Найдем значение постояннойСпри начальном усло- вииT(0) = 300 K. Подставляя в общее решение (7) времяt= 0 и тем- пературыT= 300 К иT₃= 220 К, получим

300 =Сe⁰+ 220 =С+ 220,

отсюдаС= 80.

Следовательно, зависимостьT(t) определяется частным реше- нием

T80e^kt220. ⁽⁸⁾

Коэффициент пропорциональностиkнаходим из условия,чтовмоментвремениt=10стемпературателаT₂₌260К.ПодставимT(10)=260Квуравнение(8).Получаем

26080e^k10220,

26022080e^k10,

4080e^k10,

0, 5e^k10,

ln 0, 510k,

k0,1ln0,50,0693. ⁽⁹⁾

Подставив найденный коэффициентkв уравнение (8), получим температурную зависимость от времени вида

T(t)80e^{0,0693t}220. ⁽¹⁰⁾

Ответ: зависимость температуры тела от времени

T(t)80e^0,0693t220, К.