3. Как нашли решение уравнениямеханических незатухающихколебаний

Колебания—процессыисостояния,широкопредставленныев природеитехнике.Вкурсемеханикииэлектродинамикивыбудетеизучатьнезатухающие,затухающиеивынужденныеколебания.Урав-нениемеханическихколебанийпредставляетсобойзаписьвторого законаНьютонаиявляетсядифференциальным,таккакускорение, входящеевэтотфизическийзакон—втораяпроизводнаякоордина- тыповремени.Этоуравнение,видкоторого

0

x=^2x, (4.14)

неявляетсядифференциальнымуравнениемсразделяющимисяпе- ременными.

Как более двухсот лет назад получили его решение вида

x(t)=Asin(_0t+₀)? (4.15) Оказывается,подбором.

Заметили,чторешением(4.15)уравнения(4.14)должнабытьфунк-ция, вторая производная которой совпадает с исходной функцией, взятой с обратным знаком.Такомуусловию удовлетворяют функциисинусикосинус,переходящиедругвдругаприизмененииаргумента

на/2. Действительно, вторая производная функцииx(t) = sint, со- гласно таблице производных со страницы 27, равна

x(t)=(sint)=(cost)=–sint=–x(t), (4.16)автораяпроизводнаяфункцииx=cost,согласнотойжетаблице,

x(t) = (cost)= (–sint)= –cost=–x(t). (4.17)

В решении (4.15) уравнения (4.14) функцию синус решили умно- жить на некоторую постоянную А (позже ее назвали амплитудой ко- лебаний), поскольку синус меняется в пределах от –1 до +1, а коле- бания могут иметь любой размах. Также методом проб и ошибок в решение были введены постоянные₀и₀.

Приведенные рассуждения показывают, что порой нахождение аналитического решения дифференциального уравнения — это ис- кусство, основанное на общей эрудиции, интуиции и озарении.

Ниже рассмотрим общий метод решения уравнений вида

а₀y+а₁y+а₂y=0, (4.18) к которым и относится уравнение(4.14).

4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постояннымикоэффициентами

Уравнение вида

а₀y+а₁y+а₂y= 0,

гдеа₀,а₁,а₂— постоянные, называетсялинейным однородным диф-ференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффи- циентами.

Если функцииy₁(x) иy₂(x) — частные решения уравнения (4.18), причем их отношение не является числом, то выражение

y(x)=C₁y₁₍x)+C₂y₂₍x), (4.19)

гдеC_1иC_2—постоянные,аy₁₍x)иy₂₍x)—частныерешения,естьоб-щее решение этогоуравнения.

Для определения вида частных решенийy₁(x) иy₂(x) следует ре- шить характеристическое уравнение

а_0k²⁺а_1k+а₂=0. (4.20)

Прирешенииквадратногоуравнения(4.20)возможнытрислучая, представленные втаблице

Корни уравнения(4.20)	Частныерешения	Общеерешение
Действительные различ-ныеk1иk2	y1=ek x 1 y2=ek x 2	y(x) =C1ek x+C2ek x 1 2
Действительные равные k1=k2	y1=ek x 1 y2=xek x 2	y(x) =ek x(C+C x) 1 1 2
Комплексно сопряженные k1=+iиk1=–i	y1=excosxy2=exsinx	y(x) =ex(C1cosx+C2sinx)

Еслизаданыначальныеусловияу(0)=у_01иу(0)=у₀₂,томожно найтипостоянныеC_1иC_2и,подставляяихв(4.20),получитьчастноерешение уравнения(4.18).

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение дифференциальногоуравнения.

2. Что называется общим решением дифференциального урав- нения?

3. Что называется частным решением дифференциального урав- нения? Как найти частное решение, зная общее решение дифферен- циальногоуравнения?

4. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными? Как найти егорешение?

5. Какие из уравнений (3.6), (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.11), (3.12),

(3.13), (3.14), (3.15) (с. 43 и 44) являются уравнениями с разделяю- щимися переменными?

6. Дайте определение линейного однородного дифференциальногоуравнения второго порядка с постояннымикоэффициентами.

7. Как найти частное решение такогоуравнения?

8. Какойвидимеет частное решение линейногооднородногодифференциального уравнения, если корни его характеристическо- го уравнения: 1) действительные различные, 2) действительные сов- падающие, 3) комплексносопряженные?