1. Дифференциальное уравнение, его порядок.Общееичастноерешениедифференциальногоуравнения

Дифференциальнымназывается уравнение, связывающее незави- симую переменнуюx, неизвестную функциюy=f(x) и ее производ- ныеy,y…,y⁽ⁿ⁾.

Символически дифференциальное уравнение можно записать в виде

F(x,y,y,y,…,y⁽ⁿ⁾)=0. (4.1)

Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, назы-ваетсяпорядком дифференциального уравнения.

Например,второйзаконНьютонавобщемслучаеестьдифферен- циальное уравнение второго порядка, так как ускорение, входящее в это уравнение, — вторая производная координат повремени.

Решениемдифференциального уравнения называется всякая функ-цияy=f(x), которая при подстановке в уравнение (4.1) превраща- ет его втождество.

Пример. Уравнение

xy+y=0 (4.2)

является дифференциальным уравнением первого порядка, так как содержит производную первого порядкаy. Функция

y=1/x (4.3)

являетсяегорешением. Действительно, подставляяy=1/xиy= –1/x²в уравнение (4.2), получаем

x(–1/x²)+1/x=0. (4.4)

Функцияy= 1/xобращает уравнение (4.2) в тождество, т. е. яв- ляется его решением. Есть и другие решения:y= 2/x,y= 5/x, а так- же любая функция вида

y=C/x, (4.5)

гдеC— произвольная постоянная.

Действительно,

y=–C/x² (4.6)

и подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) дает

x(–С/x²)+С/x=0, (4.7)

т. е. также превращает его в тождество. Оказывается, решений мно- го, причем общее выражение (4.5) содержит наряду с переменнойxпараметрC.

Общим решениемуравнения (4.1) называется функция

y=(x,C), (4.8)

котораязависитотxиотпроизвольнойпостояннойCиобладаетсле- дующимисвойствами:

1. удовлетворяетдифференциальномууравнению(4.1)прилюбом конечном значении постояннойС,

2. при любом начальном условииy(x₀) =y₀, можно найти такое значениеC=C₀, что функцияy=(x,C₀) удовлетворяет данному начальномуусловию.

Частным решениемдифференциального уравнения называется функция

y=(x,C₀), (4.9)

которая получается из общего решенияy=(x,C), если произволь- ной постояннойСпридать определенное значениеС=С₀.

Геометрически общее решениеy=f(x,C) уравнения (4.1) пред- ставляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зави- сящее от одной произвольной постояннойС.

Кривая семейства, проходящая через точкуM₀(x₀,y₀), представ- ляет собой график частного решенияy=(x,C₀) при начальном ус- ловииy(x₀) =y₀.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимисяпеременными

Простейшим дифференциальным уравнением является уравне- ние вида

^dy(x). (4.10)

dx

Для отыскания общего решения уравнения (4.10) нужно взять ин- теграл

или

y=_(x)dx

(4.11)

y=F(x)+C, (4.12)

гдеF(x)—первообразнаяфункии(x).Еслизаданоначальноеусло- виеy(x₀) =y₀, то для отыскания частного решения нужноопределить постоянную интегрированияСиз равенстваy₀=F(x₀) +C.Уравне-ния вида (4.10) широко представлены в физике и рассмотрены в раз- деле 2 (с. 36). Например, для отыскания общего решения уравнения (2.20), имеющеговид

I^dq,

dt

(I— сила тока,q— заряд,t— время) достаточно взять интеграл

q =_I(t)dt.

В данном уравнении независимой переменной является времяt.

Уравнением с разделяющимися переменныминазывается дифферен-циальное уравнение, приводящееся с помощью алгебраических пре- образований к уравнению вида

f(x)dx=(y)dy. (4.13)Уравнение(4.13) называетсяуравнением с разделеннымипеременными.

Для отыскания общего решения уравнения (4.13) нужно взять ин-

тегралы от обеих его частей.