Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение первообразной для даннойфункции.

2. Поясните геометрический смыслпервообразной.

3. Поясните геометрический смысл определенногоинтеграла.

4. В чем отличия между неопределенным и определенным инте- гралом?

5. Поясните физический смысл определенногоинтеграла.

6. Пользуясь таблицей интегралов, найдите неопределенные ин- тегралы от следующихфункций:

1)y9x²2x3,

2)y6x³3x4,

3. y5x3sinx,

4. y7x^32cosx,

5. yx,

6. ysinx,

7. ytgx,

8)y= 3cos2x.

7. Приведите примеры физических величин, которые являются ин-тегралами по времени и координате от других физическихвеличин.

Примеры решения задач

Задача 3.1

Скоростьтелаизменяетсясовременемпозаконуv(t)= ,м/c.

НайтипутьS,пройденныйтеломзавремяt=10спосленачаладви- жения,исреднююскоростьv_срзаэтовремя.

Дано:v(t) = Найти:S(10),v_ср.

, м/c;t= 10 c.

Так как путьS— это интеграл от скоростиv(t) по времениt,

^(S_^{vtdt), тоS(t)}_^1tdt

²(1t)²C.

3

3

В полученную зависимость пройденного телом пути от времениS(t) подставим значения времениt₁= 0 c иt₂= 10 с (это будут ниж- ний и верхний пределы интегрирования) и определим путьS(10), пройденный телом за 10с

S(10)

10

3

3

²(1t)²

0

²⁽¹¹

3

1)23, 7м.

По определению средней скорости

v(t)^S(t)

cp _t ^.

Тогда средняя скорость тела за времяt= 10 c

v(10)^S(10)^{23, 7}2,37м/с.

^cp t 10

Ответ: путь, пройденный телом за первые 10 с после начала дви- жения,S(10)23,7 м; средняя скорость за этот промежуток време- ниv_cp(t)2,37м/с.

Задача 3.2

Какую работуAнадо совершить, чтобы тело массойmподнять с поверхностиЗемли,радиускоторойR,навысотуh?Найтиработуприудалении тела набесконечность.

Дано:m,R,h. Найти:A_h,A_.

Сила, действующая со стороны Земли на тело массойm, опреде-

ляется законом всемирного тяготенияFG^mM, гдеr— расстоя-

_r2

ние от центра Земли до тела,G— гравитационная постоянная,M—

масса Земли. Если радиус ЗемлиR, то работа, совершаемая для под- нятия массыmс поверхности Земли (r=R) до высотыh(r=R+h), вычисляется по формуле

Rh_mM

⎛^{1 1⎞}

A_h_{G 2}

r

R

drGmM_{⎜⎝RRh⎟⎠}.

На поверхности Земли (гдеr=R) сила, действующая на тело,F=mg(g— модуль вектора ускорения свободного падения), поэто- муGM=gR²и

AmgR^2⎛1

¹⎞_^mgh_.

^{h ⎜}_⎝R Rh^⎟_⎠

_1h

R

Для ответа на второй вопрос задачи найдем предел полученного выражения приh, стремящейся к бесконечности

limA

lim^mghmgR, илиA_=mgR.

h

^{h hh}

1



R

Ответ: чтобы тело массойmподнятьсповерхности ЗемлирадиусаR

навысотуh,необходимосовершитьработуA_h

^mgh; чтобы удалить

1^h

R

тело на бесконечность, необходимо совершить работуA_=mgR.

4. Дифференциальные уравнения

При решении физических задач часто возникают уравнения, на- зываемые дифференциальными. Такими являются уравнения дви- жения тел, составленные по второму закону Ньютона (если хотя бы одна из сил, действующих на тело, зависит от времени), уравнения незатухающих, затухающих и вынужденных колебаний, уравнения для расчета электрических цепей, составленные по правилам Кирх- гофа (если в цепи происходит переходный процесс).

Метод решения дифференциального уравнения определяется ви- дом уравнения; огромное число таких уравнений имеет только чис- ленное решение, в некоторых случаях решение дифференциально- го уравнения может подсказать сам характер исследуемого физиче- скогоявления.

Рассмотрим виды дифференциальных уравнений, наиболее часто возникающих при описании физических процессов.