Вынужденные колебания. Резонанс

Шарик массой m может совершать незатухающие гармонические колебания около точких= 0 с собственной частотой₀. В моментt= 0, когда шарик находился в положении равновесия, к нему при- ложили вынуждающую силуF=F₀cosΩt, совпадающую понаправ-лению с осьюх. Найти уравнение вынужденных колебаний шари- ках(t).

Колебательнаясистемасовершаетзатухающиеколебаниясчасто- той=1000Гц.Определитьчастоту_{0собственных}колебаний,если резонансная частотаΩ_p= 998Гц.

Определить, насколько резонансная частота отличается от часто- ты₀= 1 кГц собственных колебаний системы, характеризуемой ко- эффициентом затухания= 400 с^–1.

К пружине с коэффициентом упругостиk= 10 Н/м подвесили грузсмассойm=10гипогрузиливсюсистемуввязкуюсреду.Ко-

эффициент сопротивления равенr= 0,1 кг/с. Определить частоту₀

собственных колебаний.

Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при часто- тах₁= 400 Гц и₂= 600 Гц равны между собой. Определить резо- нансную частотуΩ_p.

Телосовершает вынужденные колебания в среде с коэффициен- томсопротивленияr=1г/с.Считаязатуханиемалым,определитьам-плитудувынуждающейсилы,еслирезонанснаяамплитудаА=0,5см и частота собственных колебаний₀= 10Гц.

Пружинныймаятник(коэффициентупругостипружиныk=10Н/м,смассойгрузаm=100г)совершаетвынужденныеколебанияввяз- койсредескоэффициентомсопротивленияr=0,02кг/с.Определить коэффициентзатуханияирезонанснуюамплитудуА,еслиампли- тудноезначениевынуждающейсилыF₀₌10мН.

Прикакойскоростипоездарессорыеговагоновбудутмаксималь-ноколебатьсяподдействиемтолчковколёсостыкирельсов,еслидли-на рельсов= 12,5 м, нагрузка на рессорыm= 5,5 т и рессора про- гибаетсянаΔx=16ммпринагрузкеводнутонну.

Найти максимальное значение амплитуды смещения осциллятора,совершающегоустановившиесяколебанияподдействиемвынуждаю- щей периодической силы с амплитудойF₀= 2,5 Н, если циклическая частота затухающих колебаний данного осциллятора= 100 рад/с и коэффициент сопротивленияr= 0,5кг/с.

Найти разностьфазмежду смещениемивынуждающейси-лой при резонансе смещения, если собственная частотаколебаний

₀= 50 рад/с и коэффициент затухания= 5,2 с^–1.

Гиря с массойm= 20 г, подвешенная на пружине с коэффициен- том упругостиk= 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с ко- эффициентом сопротивленияr= 0,2 Н/с. На верхний конец пружи- ны действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону

F= 0,2 cosΩt, вньютонах.Определить:

а) частотуΩвынужденныхколебаний;б) резонансную частоту;

в) резонансную амплитуду.

Гиряс массойm= 0,5кг,подвешенная на пружине с коэффициен- том упругостиk= 50 H/м, совершает колебания в вязкой среде с ко-эффициентом сопротивленияr= 0,5кг/с.Наверхний конец пружиныдействуетвынуждающая сила, изменяющаясяпозаконуF = 0,1 cosΩt.Определить для данной колебательной системы коэффициент зату- хания и резонанснуюамплитуду.

Определить резонансную частоту колебательной системы, если собственная частота колебаний₀= 300 Гц, а логарифмический дек- ремент затухания= 0,2.

Собственная частота колебаний системы₀= 500 рад/с. Опреде- лить частотузатухающих колебаний этой системы, если резонанс- ная частотаΩ_p= 499 рад/с.

Гирямассойm=400г,подвешеннаянапружинескоэффициентом упругостиk=40Н/м,опущенавмасло.Коэффициентсопротивле- ниясредыr=0,5кг/с.Наверхнийконецпружиныдействуетвыну- ждающаясила,изменяющаясяпозаконуFcosΩt.

Определить:

1. резонанснуюамплитуду.

2. частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынуж- денных колебаниймаксимальна.

6.106

Телосовершает вынужденные колебания. При частоте₁= 200Гцамплитуда колебанийА₁= 10 см, при частоте₂= 210ГцамплитудаА₂= 4 см. Найти коэффициент затуханиясистемы и собственную частоту₀колебаний, если удельная амплитуда вынуждающей силы

равнялась^F

= 210 Н/г.

6.107 ^m

На тело массойm= 10 г действует сила упругости с коэффициен- томk= 4 Н/м, сила сопротивления среды и периодическая вынуж- дающая силаF= 10kcos 120t, в ньютонах.

Какойкоэффициентсопротивлениясоответствуетамплитудесме- щенияA= 8 см? Чему равна средняя кинетическая энергия за поло- вину периода в этомслучае?

6.108

Шарик массой m может совершать незатухающие гармонические колебания около точких= 0 с собственной частотой₀. Вмоментt= 0, когда шарик находился в состоянии равновесия, к нему при- ложили вынуждающую силуF= cosΩt, совпадающую понаправ-лению с осьюх. Найти уравнение вынужденных колебаний шари- ках(t).

6.109

Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний меньше ре- зонансной амплитуды, если частота изменения вынуждающей силы больше резонансной частоты на 10 %? Коэффициент затуханияпринять равным 0,1₀(₀— круговая частота собственных коле- баний).

6.110

Шарик массой m, подвешенный к пружинке, удлиняет послед- нюю на величинуΔ. Под действием внешней вертикальнойсилы,меняющейся по гармоническому закону с амплитудойF₀, шарик со- вершает вынужденные колебания. Логарифмический декремент за- туханияравен.Пренебрегаямассойпружинки,найтикруговуючас- тоту вынуждающей силы, при которой амплитуда смещения шарика максимальна. Каково значение этойамплитуды?

6.111

Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при частотах₁= 400 рад/с и₂= 600 рад/с равны. Найти частоту, при которой амплитуда максимальна.

6.112

Причастотахвынуждающейгармоническойсилы_1и_{2амплиту- да скорости частицы равна половине максимального значения. Най- ти}частоту,соответствующую резонансускорости.

6.113

Причастотахвынуждающейгармоническойсилы_1и_{2амплиту- да скорости частицы равна половине максимального значения. Най- ти}коэффициентзатуханияичастотузатухающихколебанийчас- тицы.

6.114

Период собственных колебаний пружинного маятникаравенТ₀= 0,55 с. В вязкой среде период того же маятника сталравнымТ= 0,56 с. Определить резонансную частотуколебаний.

6.115

Под действием внешней вертикальной силыFcosΩtтело,под-вешенное на пружине, совершает установившиеся вынужденные ко- лебания по законуxAcos(Ωt₀).

Найти работу силыFза период колебаний.

6.116

Кпружинескоэффициентомупругостиk=10Н/мподвесилигруз массойm=10гипогрузилисистемуввязкуюсреду.Принявкоэф- фициентсопротивленияравнымr=0,1кг/с,определитьрезонанс- ную частотуΩ_p.

6.117

Шарик массойm= 50 г подвешен на невесомой пружинке жест- костиk= 20 Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной гар- монической силы с частотойΩ= 25 рад/с шарик совершаетустано-вившиеся колебания с амплитудойA= 1,3 см. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на= 3/4. Найти работу вынуждающей силы за периодколебания.

6.118

Шарик массойm, подвешенный на невесомой пружинке, может совершать вертикальные колебания с коэффициентом затухания. Собственная частота колебаний₀. Под действием внешней верти- кальной силыFF₀cosΩtшарик совершаетустановившиесягармо-нические колебания. Найти среднюю за период мощность силыF.

6.119

Шарик массойm, подвешенный на невесомой пружине, может совершатьвертикальныеколебанияскоэффициентомзатухания. Собственнаячастотаколебанийравна₀.Поддействиемвнешней

вертикальной силыFF₀cosΩtшарик совершает установившиеся

гармонические колебания. Найти частотуΩ, при которойсредняямощность силы максимальна.

6.120

Гирькамассойm=0,2кг,висящаянавертикальнойпружине,совер-шаетзатухающиеколебанияскоэффициентомзатухания=0,75с^–1. Коэффициентупругостипружиныk=0,5кг/см.Начертитьзависи- мостьамплитудыАвынужденныхколебанийгирькиотчастотыΩ

внешнейпериодическойсилы,еслиамплитудавозмущающейсилы равнаF₀₌0,98Н.ДляпостроенияграфиканайтизначенияАдлясле-дующихчастот:Ω=0,Ω=0,5₀,Ω=0,75₀,Ω=₀,Ω=1,5_0иΩ=2₀,где_0—частотасобственныхколебанийподвешеннойгирки.

6.121

По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии = 30 см друг от друга. По этой дороге покатили детскуюколяску,имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается наΔx= 2 см поддействи-ем груза массойm₁= 1кг.С какой скоростью катиликоляску,если от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раска- чиваться? Масса коляскиm₂= 10кг.

6.122

Теломассойm=10гсовершаетзатухающиеколебаниясначаль- нойфазой,равнойнулю,икоэффициентомзатухания=1,6с^–1.На этотелоначаладействоватьвнешняяпериодическаясила,поддей- ствиемкоторойустановилисьвынужденныеколебания.Уравнение вынужденныхколебанийх=5sin(10t–0,75).Найтиуравнениевнешней периодическойсилы.

6.123

Кпружинеcкоэффициентомупругостиk=10Н/мподвесилигруз массойm=10гипогрузиливсюсистемуввязкуюсреду.Принявко- эффициентсопротивленияравнымr=0,1Н/с,определитьрезонанс- нуюамплитудуА,есливынуждающаясилаизменяетсяпогармони- ческомузаконуиееамплитудноезначениеF=0,02H.

6.124

На тело массойm= 10 г действует сила упругости с коэффициен- томk= 4 Н/м, сила сопротивления среды и периодическая возму- щающая силаF= 10kcos 120t. Какой коэффициент сопротивления соответствуетамплитудеА=8см?Чемуравнасредняякинетическая анергия за половину периода в этомслучае?

6.125

Определитьлогарифмическийдекрементзатуханияколебатель- ной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, мень- шей собственной частоты₀= 10 рад/с наΔ₀= 2рад/с.