4. Геометрический смысл определенногоинтеграла

b

Интеграл_f(x)dxчисленноравенплощади,ограниченнойчастьюграфикафункaцииy=f(x),осьюOXиординатамиf(a)иf(b),взятойсо знаком «+» или «–», согласно схеме на рис.3.3.

Если кривая пересекает осьOXодин или несколько раз внутри интервала [а,b], то интеграл численно равен алгебраической сумме площадей, находящихся по каждую сторону осиOX.

Рис. 3.3

5. Физический смыслинтеграла

Интегральное исчисление возниклоизпотребности создать общийметод определения площадей, объемов и центров тяжести.

В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом.СистематическоеразвитиеонполучилвXVIIвекевработахКавальери,Торричелли,Ферма, Паскаля и других ученых. В 1659г.Барроу (учи- тельНьютона)установилсвязьмеждузадачейобопределенииплоща-диизадачейокасательной.НьютониЛейбницв70-хгодахXVIIвека

перешли от частных геометрических задач к установлению связи ме- жду интегральным и дифференциальным исчислением.

Эта связь использована Ньютоном, Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования достигли в работах Л. Эйлера, М. В. Остро- градского и П. Л. Чебышева.

Итак,интегрирование—операция,обратнаядифференцирова- нию. Поэтому если физическая величинаXявляется производной повременииликоординатеотдругойвеличиныY

X^dY, (3.4)

dt

то, зная величинуX, можно найти зависимость величиныYот вре- мени как интеграл.

Y_Xdt. (3.5)

Так как явления природы протекают в пространстве и во време-

ни, многие физические величины являются интегралами по времени

tили координате (x,y,z) от других величин. Приведем примеры.

МощностьP— это скорость совершения работыА

P^dA. (3.6)

Поэтому работа

dt

A_Pdt

(3.7)

Скорость^�это производная радиус-вектора^�по времениt

v _� r

� dr

Поэтому радиус-вектор

v . (3.8)

dt

� �

r_vdt. (3.9)

ТокI— это скорость изменения зарядаq

I^dq. (3.10)

Поэтому заряд

dt

q_Idt. (3.11)

Плотность теласвязана с массойmи объемомVкак

^dm. (3.12)

dV

Поэтому масса тела

m_dV. (3.13)

Линейная плотность зарядаопределяется как

^dQ. (3.14)

dx

Поэтому заряд

Q_dx. (3.15)

6. ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХИНТЕГРАЛОВ

Для определения интеграла от элементарных функций пользуют- ся таблицей интегралов, приведенной ниже.

Таблица основных интегралов(постоянные интегрирования в таблице опущены)

n xn1 xdx ;n1 n1	(1)	dx tgx cos2x	(9)
dxlnxx	(2)	dxctgx sin2x	(10)
exdxex	(3)	dx 1 x a2x2aarctga	(11)
x ax 0 dx lna	(4)	 dx 1lnax; (для⎪x⎪a) a2x22a ax	(12)
sinxdxcosx	(5)	 dx 1lnxa; (для⎪x⎪a) x2a22a xa	(13)
cosxdxsinx	(6)	 dx arcsinxa2x2 a	(14)
tgxln cosx	(7)	 dx lnxx2a2 a2x2	(15)
ctgxln sinx	(8)	 dx lnxx2a2 x2a2	(16)