2. Видыволн

Видволнопределяетсяисточникомколебания.Еслиисточникко-лебанийоченьмал(точечныйисточник),товолныотнегорадиально расходятся во все стороны, как это показано на рис.6.17.

Радиальная прямая, проведеннаяотточечного источника, вдоль кото-рой распространяется волна, назы-вается лучом. Волновая поверхностьот точечного источника имеет фор- му сферы.Такаяволна называетсясферической.

В изотропной среде (т. е. среде, свойства которой не зависят от на- правления), волновой вектор пер- пендикулярен волновой поверхно- сти.

Еслиисточникколебаний— ^Рис.6.17

протяженная плоскость, то волно- вая поверхность имеет форму плос- кости.Такаяволна называется пло-ской.Вплоскойволневселучи,вдолькоторых она распространяется, па- раллельныдругдругу,например,па-раллельны осих(рис.6.18).

В однородной среде колебание вдольвсехпараллельныхлучейрас- пространяется с одинаковой фазо- вой скоростьюu.

Кроме плоских и сферических

волн можно выделить также волныцилиндрические, у которых вол- новые поверхности — концентрические цилиндры.Такиеволны воз- буждаются нитевидными или щелевыми источниками.

Среди волн разнообразной физической природы выделяют поми- мо упругих волн и волн на поверхности жидкости,электромагнит-ныеи плазменные волны. Особенно большое значение в природе и технике играют электромагнитные волны.

3. Уравнение плоской гармоническойволны

Уравнением плоской гармонической волны называется периоди- ческая функция(x,C,z,t), позволяющая найти смещение от по- ложения равновесия частицы волнового поля в любой момент вре- мени.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяетсясо

u

скоростью^�в однородной изотропной среде в направлении осих

(рис. 6.19). Смещение частицы зависит от времениtи координатых

той волновой поверхности, которой эта частица принадлежит

(x,t).

u

В нашем примере лучом является осьх. Пусть волна распростра- няется со скоростью^�. Если волна гармоническая, то в каждойточ-

ке пространства частица совершает гармоническое колебание.

Пусть колебания частиц, принадлежащих волновой поверхности с координатойх= 0, описываются уравнением

(0,t)Acost. (6.51)

Колебания частиц с координатойхначнутся позже, так как тре- буется времяtдля того, чтобы волна прошла расстояниехот колеб- лющейся точки до источника колебаний. Время прохождения вол- ной этого расстоянияравно

^x.

u

Следовательно,колебаниячастицскоординатойхбудутотставать по времени от колебаний частиц с координатойх= 0 на:

(x,t)Acos(t),

или

(x,t)Acos(t^x)Acos(t^x)Acos(tkx), 

u u _

гдеА— амплитуда колебаний или амплитуда волны,t x—

u

фаза колебаний волны в произвольной точке с координатойх,k— модуль волнового вектора (см. 6.50). Волновой вектор указывает на направление распространения волны.

Равенство (6.52) называется уравнением плоской гармонической волны.

Фазы колебаний в разных точках среды отличаются. Вычислим разность фаз в двух точках среды, определяемых координатамих₁их₂. Фазы колебании в точкахх₁их₂имеют вид

t^x,t^x.

1

Разность фаз

21. 1 2 _u2

Δ(t^x)(t^x)

1 2 _{u1 u}2

   2 2

 x_1 x_2 (x₂x₁) Δx

u u u Tu

_Δx.

Уравнение (6.52) называют уравнением прямой волны.

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении, противоположном направлению осих, имеетвид

(x,t)Acos(tkx).

Это уравнение обратной волны.

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении, имеетвид

(^�,)Acos(t^��), (6.53)

rt kr

�

r— радиус-вектор, определяющий положение рассматриваемой час- тицы.

Более сложные волны можно представить в виде суперпозиции гармонической волны.

Если в (6.53) зафиксироватьt,то зависимость волновой функции отхдает как бы моментальную фотографию волны (застывшую си- нусоиду), т. е. значение амплитуды колебаний каждой точки в дан- ный момент времени. Пространственный период ее, т. е. расстояние между точками, в которых совпадают значе-

нияи значение ее производной по коорди-

нате, называетсядлиной волныи обозначает- ся буквой(рис. 6.19).

Графикхпохож на график гармониче- ского колебания, но отличается по сущест-ву.Например, график колебаний в точкеВс координатойxдает зависимость плотности

среды в этой точкеотвремени. ^Рис.6.19

Рис. 6.20

Картину распространения волны можно представить, если застывшую синусоиду на рис. 6.19 привести в движение вдоль осихсо

u

скоростью^�.

Двепоследовательные «моментальные фо- тографии»волнывмоментывремениtиt+Δtпоказаны на рис. 6.20.Точкаволны с опреде- ленной фазой, (например, точкамаксимума

функциина рис. 6.20) смещается за это время на расстояниеuΔt.

Длина волныuT^2.

k

Зависимость(x,t)можно найти, решая волновое уравнение.

Волновое уравнение — дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка от смещения и времени, описывающее процесс распространения возмущений в упругой среде. Оно связы- вает вторые частные производные от смещения по координатам со вторыми частными производными от смещения по времени. Если продифференцировать (6.52) дважды по времени, затем дважды по координате, то получим

²(x,t)_{ }

t²

A cos(

t kx),

²(x,t)_{ }

x²

Akcos(

t kx).

Разделив второе уравнение на первое, получим

²(x,t)_k²²(x,t)_

x² ²t²

k² 1

Учитывая, что_2_u2, запишем дифференциальное волновое

уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении осих:

²(x,t)_1

x² u²

²(x,t)

t^2.



Дифференциальное уравнение (6.54) позволяет решить простые задачи, связанные с распространением волны. Например, можно по- лучить скорость распространения волны в натянутой струне.

Если волна распространяется в произвольном направлении, то в левой части волнового уравнения появляются слагаемые, содержа- щие вторые частные производные поуиz

²_²_²_

1²

x²y²z²

u²t^2.

Решением этого уравнения в зависимости от дополнительныхус- ловий могут быть уравнения(x,y,z,t)плоской, сферической, ци-линдрической или других волн.

Скорость волны зависит от свойств среды, в которой волна рас- пространяется (в частности, от плотностии коэффициентов, ха- рактеризующих упругость среды).

Приведембездоказательствапримерыформулдлярасчетаскоро- стираспространенияволнывразныхсредах,которыемогутбытьпо- лезны при решении конкретныхзадач.

1. Врастянутойструнескоростьраспространенияпоперечнойвол-нызависит от силы натяжения струныF_Tи от массы,приходящейся

на единицу длины струны, (^m^SlS, где— плотность мате-

l l

риала,S— площадь поперечного сечения,l— длина струны)

u .

2. Скорость распространенияпродольной волныв твердомтонком стержне вычисляется поформуле

u ,

гдеЕ— модуль Юнга (модуль продольной упругости материала).

3. Скоростьраспространенияпоперечнойволнывтвердомтеле

u ,

гдеG— модуль сдвига среды.

4. Скорость распространения звуковой волны в идеальномгазе

u ,

гдеk— показатель адиабаты,Т— температура,R— универсальная газовая постоянная,— молярная масса газа.