Вопросы и задания для самоподготовки

1. Почему незатухающие колебания в реальных системах могут быть тольковынужденными?

2. Почемуваженслучайгармоническоговнешнеговоздействияна колебательнуюсистему?

3. Какие процессы наблюдаются при вынужденных колебаниях, когда частота возмущающей силыΩприближается ксобственнойчастоте₀?

4. Чтотакоерезонанснаячастотавынужденныхколебаний,отчего оназависит?

5. Изменяется ли амплитуда вынужденных колебаний со време- нем при постоянной частоте возмущающей силы?

6. От каких параметров зависит амплитуда вынужденных коле- баний?

7. Может ли амплитуда вынужденных колебаний быть бесконеч- нобольшой?

8. Почему при увеличении частоты возмущающей силы, дейст- вующей на колеблющуюсясистему,амплитуда вынужденных коле- баний достигает максимума, затемубывает?

Примеры решения задач

Задача 6.14

Телосовершает затухающие колебания с максимальным значени-емамплитудыА₀₌7см,начальнойфазой₀₌0,коэффициентомза- тухания=1,6с^–1.Наэтотелоначаладействоватьвнешняяперио- дическаясила,поддействиемкоторойустановилисьвынужденныеколебания. Уравнение вынужденных колебаний имеетвид

x₂(t)12 sin(10t0, 75)см.

Найти уравнение (с числовыми коэффициентами) собственных затухающих колебаний.

Дано:А₀= 7 см;₀= 0;=1,6 с^–1;x₂(t)12 sin(10t0, 75)см. Найти:x(t).

Запишем уравнение затухающих колебаний в общем виде

0 0

x(t)A e^tsin(t).

Чтобы записать приведенное уравнение с числовыми коэффици- ентами, необходимо вычислить циклическую частоту затухающих колебаний.

По тексту дано уравнение вынужденных колебаний

x₂₍t)12sin(10t0,75)см, гдеА= 0,12 м,Ω= 10,= –0,75.

Обозначим начальную фазу вынужденных колебаний —и вы-

числим

tgtg(0, 75)1.

Начальная фаза вынужденных колебаний вычисляется по фор- муле (см. § 6.7)

tg

2Ω _.

0

_2_Ω2

Приравняв правые части представленных выражений, получим

1^2Ω.

0

²Ω²

Собственная частота системы равна_0 . Частота затухающих колебаний равна

  10,5.

Ответ: уравнение затухающих колебаний системы с числовыми

коэффициентами имеет видx(t)7e^1,6tsin10, 5t

(см).

Задача 6.15

Период затухающих колебаний системыT= 0,1 с, а отношение

амплитуд первого и одиннадцатого колебанийm

A₁

^A11

21. Опреде-

лить резонансную частотуΩ_p, коэффициент затуханияи насколь-ко резонансная частота меньше собственной частотыΔданной ко- лебательной системы.

Дано:T= 0,1 с;m

Найти:Ω_p,,Δ.

A₁

^A11

21.

Резонансная частота вынужденных колебаний и период затухаю- щих колебаний определяются по формулам

Ω_p

и

, (1)

T ^2 .

Собственная частота_{колеблющейся системы равна}

T²

4²

,²²

4²

,

. (2)

0

^2^{2 0}

_T2 ⁰

Из (1) и (2) находим резонансную частоту

Ω_p  .

Для нахождения коэффициента затуханиязапишем уравнение, связывающее первую и одиннадцатую амплитуды с учетом того,что время между первой и одиннадцатой амплитудой составляет 10 пе- риодов и равноt=10T.

1 0

AA e^t,

_{AA e}(t10T)_.

11 0

Из уравнений следует

_{AA e}10T_,

11 1

A₁^A11

5^10Tm.

Прологарифмировав последнее уравнение, получим

lnm10T. Вычислим первую неизвестную величину

^lnm3, 04.

10T

Расчетные формулы и величины резонансной и собственной час- тоты системы равны соответственно

^2 ⎛^lnm⎞2

Ω_p_T

^1⎜⎝210T^⎟⎠

62, 76рад/с,

₀

_24

2

_T2

62,83рад/с.

Ответ: резонансная частотаΩ_p= 62,76 рад/с, коэффициентзату-хания= 3.04, резонансная частотаΩ_pменьше собственной_наΔ= 0,07 рад/с. Собственная частота колебаний системы_=62,83рад/с.