Пояснение

^x₂^(t)Asin^Ωt^,

При наличии вязкого сопротивления среды в линейныхсисте-мах (линейными системами называются системы, содержащие про- изводные и функции в первой степени) нет явления резонанса (о ре- зонансе будет сказано позже). Поэтому частное решениеx₂(t) мож- но искать в виде правой части (6.45). Однако из-за наличия вязкого сопротивления среды, движение груза отстает по фазе наотвозму- щающей силыF. Вследствие этого частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется не в в видеx(t)AsinΩt,ав видеx₂(t)Asin(Ωt).

Общее решение уравнения (6.45) равно сумме двух решений

x(t)x₁(t)x₂(t)

или

0 0

x(t)A e^tsin(t)Asin(Ωt).

Вынужденные колебания устанавливаются несразу,так как груз одновременно совершает и собственные, и вынужденные колебания. Собственные колебания маятникаx₁(t) постепеннозатухают.Оста- ются только вынужденные колебания с частотой возмущающейся силыΩ

x(t)Asin(Ωt). (6.45а)ЧтобынайтиAинеобходиморешение(6.45а)подставить(6.45).Однаковозникаютзатрудненияиз-затого,чтох(t)иправаячасть

(6.45) имеют разные фазы. Чтобы устранить затруднение, искусст-

венно преобразуем правую часть (6.45) таким образом, чтобы фазы были одинаковые.

Пояснение к искусственному преобразованию

Распишем по формуле синус суммы двух углов

sinΩtsin(Ωt)sin(Ωt)coscos(Ωt)sin.(6.45б)Подставимрешение(6.45а)в(6.45),приэтомвправойчастиурав-

нения учтем преобразование (6.45б).

0

AΩ²sin(Ωt)2AΩcos(Ωt)²Asin(Ωt)

m

^{F0sin(Ωt)coscos(Ωt)sin}^.

(6.45в)

Таккак (6.45в) есть тождество, то приравняв соответствующие ко- эффициенты приsin(Ωt)иcos(Ωt), получим

A(Ω²²)^F0cos,

0 _m

2AΩ^F0sin.

m

(6.45с)

Для определения амплитудыАвынужденных колебаний возве- дем обе части уравнения (6.45с) в квадрат, сложим и извлечем ко- рень квадратный.

Так как амплитуда величина положительная, то оставим только положительное значение корня

F

2

A^2⎡(²Ω²)²4²Ω^2⎤0,

⎣ ⁰ ⎦ _m²

A ^F0 .

(6.46)

0

m(²Ω²)²4²Ω²

Дляопределениясдвигафазыразделимвтороеуравнениенапер- вое (6.45с),получим

Отсюда

tg^2Ω.

0

²Ω²

arctg^2Ω.

0

²Ω²

Таким образом, если внешняя возмущающая сила изменяется по гармоническому закону, то вынужденные колебания являются так- же гармоническими.

Частотавынужденныхколебанийсовпадаетсчастотойвозмущаю- щей силыΩи не зависит от свойств колеблющейся системы исре-ды (₀и).

Вынужденныеколебаниядажеприналичиисопротивлениясреды являются незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний мо- жет быть очень большой при малых значениях сопротивления сре- ды и возмущающей силы, если частота возмущающей силыΩблиз-ка к собственной частоте₀.

Инаоборот,амплитуда вынужденных колебаний может быть скольугодномалойприбольшихзначенияхвозмущающихсил,есличасто- та возмущающих силΩсильно отличается от частоты₀(т.е.Ω<<_0либоΩ>>₀).

АмплитудаАвынужденных колебаний и величина, определяю-

щая сдвиг фаз между вынужденными колебаниями и возмущающей силой, от начальных условий не

зависят,нозависятотсоотноше-ния частот возмущающей силы и собственных колебаний.

Рассмотрим зависимостьам-плитуды вынужденных колеба- нийАотчастотывозмущающей

силыΩ(рис. 6.14) прификсиро-ванныхF₀,₀иm.

ЕслиΩ= 0 (силаFпостоянна),то

Рис. 6.14

A^F0

0

m²

Δ,

гдеΔ— статическая деформация.

ЕслиΩ=, тоA0.

Если= 0, то приΩ=₀Астремиться к бесконечности.

Это имеет место, когда коэффициент сопротивления среды ра- вен нулю.

Если0, то при некоторой определенной для данного пружин- ного маятника частоте возмущающей силыΩ_рез<₀амплитуда ко- лебанийАдостигает максимального значения.

Явление резкого возрастания амплитуды установившихся вынуж-денных колебаний при приближении частотыΩвнешнейвозмущающей

силы к некоторой характерной для данного маятника частотеΩ_резпо-лучило название механического резонанса.

Чтобы найти резонансную частотуΩ_рездля рассматриваемойсис-темы,необходимоисследоватьподкоренноевыражение(6.46)наэкс- тремум(приэтомследуетиметьввиду,чтоэкстремумыамплитудыA(Ω) и подкоренного выраженияf(Ω)противоположны).

Возьмем производную от подкоренной функции

0

f(Ω)(²Ω²)²4²Ω²

по частотеΩи приравняем ее к нулю

^df(Ω)2(2Ω)(²Ω²)8²Ω0.

_dΩ 0

Из полученного равенства находится то значение аргументаΩ,при котором подкоренное выражение будет либо максимальным,либоминимальным:

4Ω²4Ω³8Ω²4Ω(²Ω²2²)0.

0 0

0

ТаккакΩ0, то равенство имеет место только тогда, когдасо-множитель(²Ω²2²)0.Отсюда следует

Ω .

ТаккакΩ— существенно положительная величина, то беремтоль-ко положительное значениекорня.

Чтобывыяснить,какойэкстремумимеетместопризначенииар-

гументаΩ

, необходимо взять вторую производную от

функцииff(Ω)и исследовать еезнак.

d²f

d²f

Если 0,тофункцияff(Ω)—минимальна,если 0,

dΩ² dΩ²

то функцияff(Ω)— максимальна.

d²f

4²12Ω²8²4²12²24²8²

^dΩ2⎡Ω²2^2⎤ 0 0 0

⎣^{⎢ 0} ⎦^⎥

8²16²8(²2²)8Ω².

0 0

d²f

Таккак

dΩ²

8Ω²0, то при частотеΩ

подкорен-

ное выражениеff(Ω)принимает минимальное значение,следо-вательно, амплитуда колебанийАдостигнет наибольшего (макси- мального) значения.

Таким образом, амплитуда вынужденных колебанийАпринима- ет максимальное значение, когда частота возмущающей силы равна

Частоту возмущающей силы, при которой амплитуда А достигает

максимального значения, называют резонансной частотой.

^Ωрез^

. 6.47

Из формулы видно, что резонансная частотаΩ_резменьшечастотысобственных незатухающих колебаний маятника₀.

ЗависимостьA=A(Ω)называетсярезонанснойкривой.Нарис.6.14изображены резонансные кривые, соответствующие различным зна- чениям коэффициента затухания (_{= 0,}_<_<_). Максимум ре- зонанснойкривойтемвышеиострее,чемменьше.Приотсутствии сопротивления среды (_{= 0) амплитуда бесконечна (}A).

Присооружениистроительныхобъектоввсейсмическихзонахне-обходимоучитыватьрезонансныеявления.Собственнаячастотаобъ- екта должна отличаться от частоты колебаний земной коры, наблю- даемой в данной местности. В этом случае при землетрясении есть вероятность сохранения построенныхзданий.