Задача 6.12

Пружинныймаятник,совершающийколебательноедвижение,те-ряет за период 9 % энергии. Сколько колебаний совершает маятник за время релаксации?

Дано:^ΔW0, 09.

W

Найти:N.

Уравнение затухающих колебаний имеет вид:

0 0

xA e^tcos(t).

Чтобы найти число колебанийNза время релаксации, необхо- димо найти время релаксации.Время релаксации— время, в тече- ние которого амплитуда колебаний уменьшается вeраз, связанные с периодомТи числомNколебаний, совершаемых за время релакса- ции, соотношениемNT. Коэффициент затуханиясвязан с вре- менем релаксациисоотношением^1.



Полная энергия маятника в моменты времениtиt+Tимеют

вид:

W(t)

W(tT)

kA²(t)

,

2

kA²(tT)

.

2

Амплитуды затухающих колебаний маятника в моменты време- ниtиt+Tимеют вид:

0 0 0

 ^t

• t

A(t)A e^tA e^A e^TN,



tT



• tT

A(tT)A e

(t T)_{A e}

^A e

TN_.

0 0 0

Из условия задачи следует

^kA²(tT)

_W(t)W(tT)_1W(tT)_{12 }

W(t)

⎡

W(t)

_tT_⎤²

^kA²(t)2

_{⎢A e}TN_⎥

_2



_1⎢0

_t⎥

1e^N.

⎢_⎣A0e^TN⎥_⎦

Преобразуем полученное выражение и прологарифмируем

_2

e^N1

²ln(1).

N

Расчетная формула для вычисления количества колебаний за вре- мя релаксации имеет вид

N ² .

ln(1)

Ответ: за время релаксации пружинный маятник совершит

N= 21,2 колебаний.

Задача 6.13

Пружинный маятник совершает затухающие колебания. Вычис- лить коэффициент затухания, если колебания прекратились черезt= 20 с. Считать условно, что колебания прекратились, если их ам- плитуда уменьшилась в 100раз.

Дано:t₁

=20c; ^A0A(t₁)

n100.

Найти:.

Амплитуда затухающих колебаний

0

AA e^t.

Черезt₁секунд амплитуда колебаний уменьшиласьnраз.

A₀A(t₁)

et¹n.

Прологарифмируем полученное уравнение

lnnt₁.

Расчетная формула для вычисления коэффициента затухания име- ет вид

_lnn_.

t₁

Ответ: коэффициент затухания пружинного маятника= 0,23 c^—1.

4. Вынужденные механическиеколебания

Рассмотрим колебаниянапримере пружинного маятника(рис.6.11),который периодически подвергается внешним воздействиям в виде толчков, направленных в одну и ту же сторону и повторяющихся че- рез одинаковые промежутки времени. Переменную внешнююсилу,приложенную к телу на пружине и вызывающую механические ко-

лебания,называютвозмущающейсилой_�.Пу_�стьвозмущающаясилаизменяется по гармоническому законуFF₀sinΩt, гдеF₀,Ω—ам-

плитудаициклическаячастотавозмущающейсил_�ы.Пустьнасисте-

му действуютсилатяжести ^�, силаупругостиF , силасопротив-

_� mg

_{� �} упр

ления среды

F_Rи возмущающая силаFF₀sinΩt.

Запишем второй закон Ньютона для груза

_� � � � _�

mgF_упрF_RF₀sinΩtma_{. (6.44)}Если повторить процедуры, проделанные в параграфе 6.6, суче-

том возмущающей силы, получим:

или

d²x

m

dt²

kxr^dxFsinΩt

dt ⁰

d²x_dx ^F

2 ²x⁰sinΩt.

(6.45)

dt² dt ⁰ m

Общее решение полученного неоднородного линейного дифферен-циальногоуравненияспостояннымикоэффициентами(см.§4.5гла- вы«Математическоевведение»)складываетсяиздвухслагаемых:

1. 0

   общего решения соответствующего однородного дифференци- альногоуравнения

d²x

dt²

имеющего при₀>вид:

• 2^dx

dt

²x0,

1 0 0

x(t)A e^tsin(t),

2. частного решения неоднородного дифференциального урав- нения

d²x

• 2^dx²x^F0sinΩt

имеющего вид:

dt²

dt ⁰ m