Основные параметры, характеризующие затухающие колебания

Логарифмический декремент затухания— логарифм отношения двух амплитуд, смещенных по времени на один период

 

_{A e}t

ln ⁰ T. (6.43)

0

_{A e}(tT)

Времярелаксациизатухающихколебаний—время,втечениеко- торого амплитуда колебаний уменьшается вeраз.

Из условия

_{A e}t

_{A e}^^t

⁰ e,

0

A e



t

0

0

_{A e}^^t

t

A e

0

0

_{A e}t_e

e^e

находим время релаксации1,¹и¹.

 

Коэффициентзатуханияхарактеризуетбыстротузатуханияко- лебаний. Эта величина обратно пропорциональна времени, в тече- ние которого амплитуда колебаний уменьшается вeраз.

Подставим выражение дляв (6.43), получим^T.



Таккакчислоколебаний,совершаемыхзавремярелаксации,рав-

ноN^{, то}

^T T 1 1

_{N}.

T

Логарифмический декремент затухания— величина, обратная чис-лу колебаний, совершаемых за времярелаксации.

Пример

Логарифмический декремент затуханиядля кварцевой пластины= 10^–4–10^–5, камертона= 10^–3,

математического маятника= 10^–1–10^–2.

Следовательно, амплитуда затухающих колебаний уменьшается в 2,7раза

для кварцевой пластины после 10⁴–10⁵колебаний, камертона после 10³колебаний,

математического маятника после 10¹–10²колебаний.

Выясним, по какому закону изменяется со временем энергия за- тухающих колебаний. Полная энергия деформированной пружины равна

kA²k

²

kA²_

W_п 

2 2

_A₀e

^t_ 0_e^2t_.



2

Таким образом, энергия затухающих колебаний уменьшается так- же по экспоненциальному закону.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Каквлияеткоэффициентзатуханиянапериодзатухающихко- лебаний?

2. Можно ли утверждать, что дифференциальное уравнение зату- хающихколебаний

d²x

dt²

• 2^dx

dt

²x0

0

есть иная форма записи второго закона Ньютона?

3. Циклическая частота затухающих колебанийбольшеилименьше собственной частоты₀?

4. Нетлиошибкивутверждении:«Времярелаксациизатухающих колебаний—время,втечениекоторогоамплитудаколебанийумень- шается в 2,7раза»?

5. Дайте определение коэффициента затухания.

6. Дайтеопределениелогарифмическогодекрементазатухания.

7. Увеличиваетсяилиуменьшаетсяпериодзатухающихколебаний, если увеличивается сила сопротивлениесреды?

8. Увеличивается или уменьшается условный периодзатухающих колебаний при уменьшении коэффициента упругости пружинно- гомаятника?

9. Будут ли происходить периодические колебания, если₀<?

10. Величину,равную числу полных колебаний в единицу време- ни, называют частотой колебаний или циклическойчастотой?

Примеры решения задач

Задача 6.11

Затухающие колебания происходят по закону

x10e^0,3tcost.

Найтиамплитудуколебанийпослеn=10полныхколебаний. Дано:x10e^0,3tcost;n=10.

Найти:A₁₀.

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается по экспоненци- альному закону

0

AA e^t.

С учетом условия задачи уравнение примет вид

^A10

_10e0,3t_.

Таккакамплитудуколебанийследуетнайтипоистеченииt=10T,

то

^A10

_10e0,310T_10e3T_.

Период колебания равен

T^{22}2c.

 

Ответ: амплитуда после десяти полных колебании равна

^A10

10e^3210e^60, 025м.