Задача 2.2

Заряд на обкладках конденсатора меняется согласно уравнениюq(t) = 0,03cos2t, Кл. Найти силу токаIв цепи в момент времениt= 6с.

Дано:q(t) = 0,03cos2t, Кл;t= 6 с. Найти:I(6).

Сила токаI— это первая производная зарядаqпо времениt. Ис- ходя из этого определения, получим зависимость тока в цепи от вре- мениI(t).Дляэтогопродифференцируемзаданнуюзависимостьq(t) повремени.

^{I(t)dq=0,03cos2t}^{=0,032sin2t,А}

dt ^t

(здесь А — Ампер, единица измерения силы тока).

Теперь в полученное выражение подставим значение времени

t= 6 с.

I(6) =0,032sin 260,032sin120 A.

(так как sin12= sin0 = 0) Ответ: I (6) = 0 А.

Задача 2.3

Магнитный потокФ, пронизывающийрамку,меняется со време- немпозаконуФ(t)4sin^t,Вб.Найтимодульэдсиндукции,воз-

2

никающей в рамке в момент времениt= 8 с.

Дано:Ф(t)4sin^t, Вб;t= 8 с.

Найти:Ф(8). ²

Согласно закону электромагнитной индукции эдс, возникающая в рамке, определяетсявыражением

.

(t)^dФ

dt

Поэтому сначала найдем зависимость эдс от времени, дифферен-

цируя по времени заданную зависимостьФ(t)

⎜_⎝

^^t^{⎛4sin}

_⎞

⎠

2

t_⎟

t

=4^cos^t,В

2 2

В полученную зависимость(t) подставляемt= 8 с и получаем

^⁸^{2cos⎛8⎞=2cos}^4^{=21=6,28 В.}

⎜_⎝2 ⎟_⎠

Ответ: модуль эдс индукции(8) = 6,28 В.

3. Интегральноеисчисление

1. Первообразнаяфункция

Первообразной функцией(или простопервообразной) для данной функции одной переменнойy=f(x) называется такая функцияF(x), производная от которой равнаf(x) (или, что то же самое, дифферен- циал от которой равенf(x)dx):

F(x) =f(x) илиdF(x) =f(x)dx. (3.1)

Первообразных функций для данной — бесконечное множество;разностьмеждудвумяпервообразнымифункциямиF₁₍x)иF₂₍x)—ве-

личина постоянная.Графикивсех функ-цийF₁(x),F₂(x),F₃(x), …, первообраз- ных дляданной, представляютсобойоднуитужекривуюиполучаютсяодин из другого в результате параллельного сдвига кривой в направлении оси орди- нат в ту или иную сторону (рис.3.1).

Рис. 3.1

2. Неопределенныйинтеграл

Общее выражениеF(x) + const для

всех первообразных функций от данной функцииf(x) называетсянеопределенным интеграломот функцииf(x) или от дифференциалаf(x)dx. Обозначение:

F(x)const_f(x)dx.

(3.2)

(— знак интеграла,f(x) — подынтегральная функция,f(x)dx— по- дынтегральное выражение).

3. Определенныйинтеграл

Определенным интеграломфункцииy=f(x) в пределах отадоb, заданной в замкнутом интервале [а,b] (при этом может бытьа<b(случайА) илиа>b(случайБ)), называется число, получаемое сле- дующимобразом:

1. интервал [а,b] разбивается наn«элементарных интервалов» произвольными числамиx₁,x₂, …, x_n–1, выбранными так,что

a= x₀<x₁<x₂<… <x_i<…<x_n-1<x_n=b

или

a= x₀> x₁> x₂>… > x_i>…> x_n-1> x_n=b.

2. внутри (илинагранице) каждого элементарногоинтервала[x_i–1,x_i] выбирается произвольно одно число_I(рис.3.2):

x_i–1_Ix_i

или

x_i–1_Ix_i;

3. значенияf(_i)функцииy=f(x)вэтихвыбранныхточкахумно- жаются на соответствующие разностиΔx_i–1=x_i—x_i–1(длиныэлемен-тарных интервалов [x_i–1,x_i], взятые со знаками «+» или знаками«»);

4. все полученныеnпроизведенийf(_i)Δx_i–1складываются;

Рис. 3.2

5. вычисляется предел полученнойсуммы

_f(_i)Δx_i1,когда

i1

длина каждого элементарного интервалаΔx_i–1стремится к нулю(и,следовательно,n).

Если этот предел существует и не зависит от выбора чиселx_iи_I,то он называется определенным интегралом

b _n

_f(x)dx=lim_f(_i)Δx_i1

(3.3)

i1

Δx_i10

^a n

Символназываетсязнаком интеграла, числоa—нижним преде-лом, числоb—верхним пределом, функцияf(x) —подынтегральнойфункцией, выражениеf(x)dx—подынтегральным выражением, букваx—переменной интегрирования. Значение интеграла зависит только от вида функцииf(x) и от пределовaиb, но не зависит от перемен- нойинтегрирования,котораяможетбытьобозначеналюбойбуквой.

b b b

Так_f(x)dx_f(y)dy_f(z)dz

и т. п.

a a a